浙江省近10年高数转本真题（最值易求理由难讲）

最值易求理由难讲（2020年湖南郴州第25题）

动态几何图形中的最值问题，是中考数学的常见考点，涉及到的初中阶段定理很多，例如两点之间线段最短，垂线段最短，圆中最长的弦是直径，最大的圆周角是直角等等，无论是线段最值、角度最值或面积最值，核心是找准动点源头，把它的运动状态摸透了，再探索从动点的运动，这样顺藤摸瓜，才能建立起整个动态几何的模型。

题目

如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<90°).

(1)如图2，在旋转过程中

①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；

②当CE=CD时，AG与EF交于点H，求GH的长；

(2)如图3，延长CE交直线AG于点P

①求证：AG⊥CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

解析：

(1)重要提醒，要看图2！别看图1哦！

①根据等腰直角三角形和正方形的性质，分别得到AD=CD，GD=ED，∠EDG=∠ADC=90°，所以∠EDG-∠ADE=∠ADC-∠ADE，即∠ADG=∠CDE，于是△AGD≌△CED；

②当CE=CD时，△CED和△AGD都成为等腰三角形，所以我们可过点A作AK⊥DG，如下图：

正方形边长为2，于是由“三线合一”可得GK=1，利用勾股定理求出AK=√15，同时AK∥GF可用来证明△GFH∽△AKG，得比例线段FG:AK=GH:AG，可求出GH=8√15/15；

(2)①可由“8字型”模型（叫蝴蝶也行，怎么叫都行），由于△AGD≌△CED，因此∠DAG=∠DCE，所以∠APE=∠CDA=90°，于是AG⊥CP；

②即使是以DE为边作正方形，而点D不动，只有点E运动，因此它是整个运动的主动点，其余是从动点，那么点E如何运动？

这个问题好解决，点E在以点D为圆心，2为半径的圆上运动。

我们继续探究，CP的值何时最大？

CP所在的△APC是一个直角三角形，且斜边AC是定长4√2，我们可利用三角函数来描述大小变化趋势，考虑cos∠ACP=PC:AC，于是PC=AC·cos∠ACP，于是结论是当∠ACP越小，PC值越大；

∠ACP什么时候最小呢？注意∠ACP=45°-∠DCE，再转换一次，当∠DCE最大就行了；

那∠DCE什么时候最大呢？

我们还是把那个点E所在的圆画出来看下吧，如下图：

圆D的位置和大小都是固定的，当CP为圆的割线时，∠DCE并不会最大，只有当CP成为圆的切线时，∠DCE才最大，同时注意旋转角α的范围，如下图：

根据切线的定义，此时DE⊥CP，P与F重合，观察△DCE，它是一个直角三角形，且DE=2，CD=4，很明显∠DCE=30°，用三角函数、特殊直角三角形三边关系或者直接用勾股定理，计算出CE=2√3，所以PC最大值为2 2√3；

解题反思

这是一道常见旋转背景的几何压轴题，图1只是引子，增强亲切感，课本上与它类似的很多，因此第1小题也是以全等三角形开头，起点并不高，同时这对全等三角形作为基础条件，用来完成剩下小题的求解。

在第1小题进行了小拓展，特殊位置求线段长，考察了学生对等腰三角形三线合一，相似三角形的掌握，爬上第二个台阶；在第2小题中，起手仍然较低，常规思路证明角相等；最后一个问题，难点在于理解什么时候取最大值，以及为什么取最大值。参考答案中并未对为什么取最大值进行详细说明，如果仅仅按答案进行讲评，学生可能会听得似懂非懂，因此在讲压轴题时，有必要将理由讲清楚。

之所以选择用圆的相关知识来解释，其实也是符合题目条件中旋转的描述，旋转必有圆。

本题还可以进行拓展延伸，例如旋转角范围扩大，PC是否存在最大值和最小值？而要想把这个问题弄清楚，那对为什么取最值的理解，要求更高了。

一道优秀的压轴题，对所有考生来讲，上手尽可能简单，涉及模型尽量是常见模型，从熟悉的图例中挖掘几何命题，同时具备一定改编空间，也是这道题的亮点。

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