浙江省近10年高数转本真题(最值易求理由难讲)

最值易求理由难讲(2020年湖南郴州第25题)

浙江省近10年高数转本真题(最值易求理由难讲)(1)

动态几何图形中的最值问题,是中考数学的常见考点,涉及到的初中阶段定理很多,例如两点之间线段最短,垂线段最短,圆中最长的弦是直径,最大的圆周角是直角等等,无论是线段最值、角度最值或面积最值,核心是找准动点源头,把它的运动状态摸透了,再探索从动点的运动,这样顺藤摸瓜,才能建立起整个动态几何的模型。

题目

如图1,在等腰直角三角形ADC中,∠ADC=90°,AD=4,点E是AD的中点,以DE为边作正方形DEFG,连接AG,CE,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).

(1)如图2,在旋转过程中

①判断△AGD与△CED是否全等,并说明理由;

②当CE=CD时,AG与EF交于点H,求GH的长;

(2)如图3,延长CE交直线AG于点P

①求证:AG⊥CP;

②在旋转过程中,线段PC的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

浙江省近10年高数转本真题(最值易求理由难讲)(2)

解析:

(1)重要提醒,要看图2!别看图1哦!

①根据等腰直角三角形和正方形的性质,分别得到AD=CD,GD=ED,∠EDG=∠ADC=90°,所以∠EDG-∠ADE=∠ADC-∠ADE,即∠ADG=∠CDE,于是△AGD≌△CED;

②当CE=CD时,△CED和△AGD都成为等腰三角形,所以我们可过点A作AK⊥DG,如下图:

浙江省近10年高数转本真题(最值易求理由难讲)(3)

正方形边长为2,于是由“三线合一”可得GK=1,利用勾股定理求出AK=√15,同时AK∥GF可用来证明△GFH∽△AKG,得比例线段FG:AK=GH:AG,可求出GH=8√15/15;

(2)①可由“8字型”模型(叫蝴蝶也行,怎么叫都行),由于△AGD≌△CED,因此∠DAG=∠DCE,所以∠APE=∠CDA=90°,于是AG⊥CP;

②即使是以DE为边作正方形,而点D不动,只有点E运动,因此它是整个运动的主动点,其余是从动点,那么点E如何运动?

这个问题好解决,点E在以点D为圆心,2为半径的圆上运动。

我们继续探究,CP的值何时最大?

CP所在的△APC是一个直角三角形,且斜边AC是定长4√2,我们可利用三角函数来描述大小变化趋势,考虑cos∠ACP=PC:AC,于是PC=AC·cos∠ACP,于是结论是当∠ACP越小,PC值越大;

∠ACP什么时候最小呢?注意∠ACP=45°-∠DCE,再转换一次,当∠DCE最大就行了;

那∠DCE什么时候最大呢?

我们还是把那个点E所在的圆画出来看下吧,如下图:

浙江省近10年高数转本真题(最值易求理由难讲)(4)

圆D的位置和大小都是固定的,当CP为圆的割线时,∠DCE并不会最大,只有当CP成为圆的切线时,∠DCE才最大,同时注意旋转角α的范围,如下图:

浙江省近10年高数转本真题(最值易求理由难讲)(5)

根据切线的定义,此时DE⊥CP,P与F重合,观察△DCE,它是一个直角三角形,且DE=2,CD=4,很明显∠DCE=30°,用三角函数、特殊直角三角形三边关系或者直接用勾股定理,计算出CE=2√3,所以PC最大值为2 2√3;

解题反思

这是一道常见旋转背景的几何压轴题,图1只是引子,增强亲切感,课本上与它类似的很多,因此第1小题也是以全等三角形开头,起点并不高,同时这对全等三角形作为基础条件,用来完成剩下小题的求解。

在第1小题进行了小拓展,特殊位置求线段长,考察了学生对等腰三角形三线合一,相似三角形的掌握,爬上第二个台阶;在第2小题中,起手仍然较低,常规思路证明角相等;最后一个问题,难点在于理解什么时候取最大值,以及为什么取最大值。参考答案中并未对为什么取最大值进行详细说明,如果仅仅按答案进行讲评,学生可能会听得似懂非懂,因此在讲压轴题时,有必要将理由讲清楚。

之所以选择用圆的相关知识来解释,其实也是符合题目条件中旋转的描述,旋转必有圆。

本题还可以进行拓展延伸,例如旋转角范围扩大,PC是否存在最大值和最小值?而要想把这个问题弄清楚,那对为什么取最值的理解,要求更高了。

一道优秀的压轴题,对所有考生来讲,上手尽可能简单,涉及模型尽量是常见模型,从熟悉的图例中挖掘几何命题,同时具备一定改编空间,也是这道题的亮点。

爱数学做数学

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页