结构力学位移边界条件如何处理（结构光相移法-多频外差原理）

作者：曹博

来源：微信公众号|3D视觉工坊（系投稿）

01 相移法原理02 双频外差原理03 多频率外差原理04 代码实践

01 相移法原理

结构光法原理其实是跟双目视觉一样的，都是要确定对应“匹配点”，利用“视差”三角关系计算距离，所不同的是：

• 双目视觉通过“被动”匹配唯一特征点
• 相移法作为结构光法中的一种，通过主动投影多副相移图案来标记唯一位置。

说明：虽然大多数结构光系统是单目的，但我们可以将其“双目”的，因为投影仪可以看做是一个“逆向”的相机，明白了这点，对于结构光系统一些公式推导就容易很多。

对于“双目”系统来说，最重要的工作是通过唯一标记来标记某一点，假设我们只投射一个周期的数据，我们从投影仪投出去的光栅公式如下：

其中：

比如说四步相移公式：

我们主要关心的是求解出相位主值，因为它对每个像素点是唯一的，假设我们从相机中获取了这四副图像，那怎么反过来求解相位主值？

需要说明的是，虽然这个公式对整副相移图像的，但是这公式对每个像素都是独立的，所以即使我们拿从相机拍摄到经过调制变形的图像来求解，依然可以得到单个像素点唯一的相位主值。

联立4个方程，得到：

无论：

• 哪台相机
• 拍摄到什么图像

我们要得到某个像素点的唯一“标记”，也就是这个相位主值，代回这个公式即可，都可以得到唯一值。得到了唯一值，建立匹配关系，就可以利用三角公式进行重建。

其中：横坐标为任意一行的像素，这张图中使用周期为11的像素条纹作为正弦光栅。

02 双频外差原理

解决的方法有很多，分为空域和时域展开两种：

• 空域展开：依靠空间相邻像素点之间的相位值恢复绝对相位，如果重建表面不连续，则出现解码错误。
• 时域展开：将每个像素点的相位值进行独立计算，有格雷码和多频外差两种，其中格雷码方法对物理表面问题敏感，并且多投影的图并不能用来提升精度，多频外差精度更高。

当然目前还有更多精度更高、效率更快的相位展开方法，在这里暂时不予讨论，这里主要讨论多频外差原理。

多频外差原理：通过多个不同频率（周期）正弦光栅的相位做差，将小周期的相位主值转化为大周期的相位差，从而使得相位差信号覆盖整个视场，然后再根据相位差来得到整副图像的绝对相位分布。

这里以双频外差为例，原理如图1所示：

注：通常我们说的相位函数的周期，代表的是一个周期正弦函数所占的像素单位个数。

03 多频率外差原理

其可以完成整个视场的无歧义标记。

04 代码实践

依据相移法得到的包裹相位图如下图所示，不同颜色代表不同频率的相位主值：

我们进行叠加后的效果：

在这里，我们可以看到，由两个周期小的相位可以合成一个周期更大的编码图案。

其中：

明白了原理，我们来代码实践一下，需要注意的是，求解出来的相位我们要进行归一化到区间操作：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号 def phase_simulation(WIDTH, T1, T2, T3): pha1, pha2, pha3 = np.zeros(shape=WIDTH), np.zeros(shape=WIDTH), np.zeros(shape=WIDTH) t1, t2, t3 = 1, 1, 1 for idx in range(WIDTH): if t1 > T1: t1 = 1 # 重置一下 pha1[idx] = (t1 / T1) * 2 * np.pi if t2 > T2: t2 = 1 pha2[idx] = (t2 / T2) * 2 * np.pi if t3 > T3: t3 = 1 pha3[idx] = (t3 / T3) * 2 * np.pi t1 = 1; t2 = 1; t3 = 1 return pha1, pha2, pha3 def parse_phase(pha1, pha2, T1, T2): pha12 = np.zeros_like(pha1) # 计算Delta（如果满足条件，输出左侧，否则右侧） pha12 = np.where(pha1 >= pha2, pha1 - pha2, pha1 - pha2 2 * np.pi) # # 跟下面这段代码等价 # for idx in range(0, pha12.shape[0]): # if pha1[idx] >= pha2[idx]: # pha12[idx] = pha1[idx] - pha2[idx] # else: # pha12[idx] = pha1[idx] - pha2[idx] 2 * np.pi T12 = T1 * T2 / (T2 - T1) # 方法1 pha12 = T2 / (T2 - T1) * pha12 # # 方法2 # m = np.round((T2 / (T2 - T1) * pha12 - pha1) / (2 * np.pi)) # pha12 = 2 * np.pi * m pha12 # 归一化到[0，2π] min_value, max_value = np.min(pha12), np.max(pha12) pha12 = (pha12 - min_value) * (2 * np.pi / (max_value - min_value)) return pha12, T12 if __name__ == '__main__': # 视场宽度 WIDTH = 854 # 条纹周期 T1 = 11 T2 = 12 T3 = 13 pha1, pha2, pha3 = phase_simulation(WIDTH, T1, T2, T3) X = np.arange(0, WIDTH) plt.plot(X, pha1, label="pha1") plt.plot(X, pha2, label="pha2:") plt.plot(X, pha3, label="pha3") plt.title("相移主值图（仿真）") plt.xlabel("像素") plt.ylabel("w/rad") plt.legend() plt.show() # 解相位 pha12, T12 = parse_phase(pha1, pha2, T1, T2) pha23, T23 = parse_phase(pha2, pha3, T2, T3) pha123, T123 = parse_phase(pha12, pha23, T12, T23) plt.plot(X, pha12, label="pha12") plt.plot(X, pha23, label="pha23") plt.plot(X, pha123, label="pha123") plt.title("解出绝对相位") plt.xlabel("像素") plt.ylabel("w/rad") plt.legend() plt.show()

可以看出，最终解出的绝对相位线单调递增，每个相位值时唯一的，虽然在一些交界处会有些许误差。

结构光多频外差的原理很简单，而精度这块，其实很大程度依赖于标定、高反处理这些地方。这一期内容将分为上下两期，为了便于理解，不再讲述更多内容，更多我们下一期再讲！怎么拿实际投影拍摄到的光栅图片来还原绝对相位！

备注：作者也是我们「3D视觉从入门到精通」特邀嘉宾：一个超干货的3D视觉学习社区

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