有理数的两种分类概念（有理数的五大相关概念）

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正数和负数

• 核心知识点1 正负数的认识

• 核心知识点2 用正负数表示相反意义的量

有理数

• 核心知识点1 有理数的概念

核心知识点2 有理数的分类

数轴

• 核心知识点1 数轴的概念及画法

• 核心知识点2 数轴上的点表示的数

相反数

• 核心知识点1 相反数的意义

• 核心知识点2 化简多重符号

绝对值

• 核心知识点1 绝对值的意义及求法

• 核心知识点2 绝对值性质及应用

• 核心知识点1 运用数轴比较大小

• 核心知识点2 运用法则比较大小

知识点一、正数与负数

像 3、 1.5、 584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．

要点诠释：

（1）一个数前面的“ ”“-”是这个数的性质符号， “ ”常省略，但 “-”不能省略.

（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．

（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．

知识点二、有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　

要点诠释：

（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．

知识点三、数轴

定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

要点诠释：

（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．

（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．

知识点四、数轴的画法

（1）画一条直线（通常画成水平位置）；

（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；

（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；

（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…

要点诠释：

（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．

（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．

知识点五、数轴与有理数的关系

任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如π．

要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．

知识点六、相反数

1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．

2．性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．

（2）互为相反数的两数和为0．

知识点七、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{ [-(-4)]}=-4 ．

要点诠释：　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．

知识点八、绝对值

1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如 2的绝对值等于2，记作| 2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

知识点九、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小．

2．法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

两数同号	同为正号：绝对值大的数大
	同为负号：绝对值大的反而小
两数异号	正数大于负数
－数为0	正数与0：正数大于0
	负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：

（3）判定两数的大小．

3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．

4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

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