均值与标准差的关系是什么（你和平均水平平均）

这是《机器学习中的数学基础》系列的第20篇，也是概率与统计的第4篇。

一说起期望值，可能有的人会很陌生；但一说起平均数，可能大部分人都了解。其实求期望和求平均之间还是有那么一些关系的。

• 期望

我们先来举个例子，让你对期望有直观的理解。

假设我有1个不均匀的六面体，每个面标了一个数字，分别是1、2、3、4、5、6。如果我将此六面体向上抛出，那么落地时向上一面的概率如下表所示：

显然，上述的概率之和为1。那么此六面体向上一面的期望是什么呢？

我们是这样计算期望的：把每个面出现的概率乘以每个面的数字，然后算它们的加和。即：

1·1/6 2·1/3 3·1/6 4·1/12 5·1/12 6·1/6=37/12

因此，上面这个六面体落地时正面朝上的期望就是37/12，换算成整数约等于3.

不均匀的算出来了，那如果是均匀的六面体呢？它落地时向上的一面的期望又是什么呢？

很简单，由于是均匀的六面体，那么每个面朝上的概率都是1/6。因此，总的期望就是1/6（1 2 3 4 5 6）=21/6=3.5。此时，就相当于我们求了1-6的平均数。

换句话说，如果每个数字出现的概率是相等的，那我们就相当于求的平均数；如果每个数字出现的概率是不等的，那我们就在求期望。我们一般用“E”来表示期望。

• 方差

我们还是来举例说明什么是方差。

假设小明期末考试考了6门课，他的成绩分别是60,78,77,90,92,83。那么小明成绩的方差该怎么算呢？

我们需要先算出小明的平均成绩：（60 78 77 90 92 83）/6=80。

然后，分别用小明每一门课的成绩减去平均成绩，求出差的平方，再算出这些平方的平均值。即

[(60-80)^2 (78-80)^2 (77-80)^2 (90-80)^2 (92-80)^2 (83-80)^2]/6=111。

我们把这个结果就叫做方差。把它一般化， 假设有x1、x2...xn一共n个数据，它们的均值是μ，那么方差就可以表示为：

有时候分母的n也会换成n-1，取决于它是样本数据还是整体数据，不过对我们的结果影响不大。

那么方差有什么意义呢？它所表示的是数据的波动程度，更具体的说，它表示的是数据与均值之间的离散程度。方差越大，表明数据越分散，离均值的平均距离远；方差越小，表明数据大多集中在均值周围。

• 标准差

标准差就是方差开方得到的结果，即

那这么做有什么意义呢？注意到，我们的方差是求了平方的，如果我们的数据是有单位的话，最后的结果将是单位的平方，对这个结果不是很好解释。比如上面小明成绩的方差是111，单位是“分”的平方。我们就会感到很奇怪。

将方差开方后，单位就变成了原来的单位，那么结果就很好解释了。可以得出，小明成绩的标准差约为10.5分。也就是说，小明的成绩与均值的差距平均在10.5分。

标准差同样衡量数据的波动状况，只不过它的结果很好解释。

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