初二三角形最值问题的常用解法（利用三角形的外心解题5例）

利用三角形的外心解题

三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，亦称为这个三角形的外心。根据三角形的外心性质及其判定方法，找到并利用外心对解一些几何题颇有帮助，现举例说明如下。

题目1：如图1，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，，BD与AC交于点E，AB=4，AE=3。求BE·ED的值（7）。

解题思路：根据图形特点，我们可以想到圆周角和圆心角的关系，结合题目要求BE·ED的值，这两条线段积同时符合相交弦定理的表达式，这样用圆的性质解题是一个有用的途径。

图2中，按照题目已知条件，我们可以判定点A为△BCD的外心，即△BCD外接圆的圆心（详见构造三角形外接圆解题5例中题目4）。CA的延长线交圆于F，FE=7，EC=1，根据相交弦定理：BE·ED=FE·EC=7x1=7。

题目2：如图3，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=3，BC=2。求对角线BD的长是（4√2）。

解题思路：因为AB=AC=AD，作以点A为圆心，AB为半径的圆，D、B、C三点均在圆上，故点A为△DBC的外心（图4）。延长BA交圆于E，连接DE，则△EDB为直角三角形。

由AB∥DC知BC=ED=2（圆内平行的两条弦构成等腰梯形），EB=6。根据勾股定理求得DB=4√2。

题目3：如图5，M为正方形ABCD的边AB上任意一点，AN为正方形ABCD的外角平分线，且MC=MN。求证：∠CMN=90°。

解题思路：延长NA交CB延长线于E，易证Rt△ABE为等腰直角三角形，∠CEN=45°，AB=BC=BE，BM为CE的垂直平分线，ME=MC=MN（图6）。

作以M为圆心，MC为半径的圆，则M为△CEN外接圆的圆心即外心。圆心角CMN=2∠CEN=2x45°=90°。

题目4：如图7，已知四边形ABCD的面积为4，AB=AC=AD，∠BAC=90°。求线段BD的长为（4）。

解题思路：四边形ABCD的面积由两个共底边（BD）的三角形组成，如果知道底边上的高，则BD可得。分别作△ABD和△BCD的底边BD上的高AN和CM，则BN=ND=1/2BD。

已知AB=AC=AD，故点A为△BCD外接圆的圆心，即是△BCD的外心（图8）。

∠CDB=1/2 ∠BAC=45°，故CM=MD。

图中易证A、B、C、M四点共圆，Rt△ANM为等腰直角三角形，AN=MN。亦可通过证明△AMC≌△AMD，∠AMN=（360°- 90°）/2 - 90°=45°。

CM AN=ND= 1/2BD。

四边形ABCD的面积=1/2 BD（CM AN）

=1/2 BD·1/2BD

=1/4 BD²=4

BD=4。

题目5：如图9，在△ABC中，AD是高，BE是内角平分线，且∠AEB=45°。证明：AB/BC=AD/DC。

解题思路：已知BE是∠ABC的平分线，AB/BC=AE/EC。这时要证明的结论变为AB/BC=AD/DC= AE/EC，即

AD/DC= AE/EC，连接DE，只要证明DE为直角ADC的角平分线就可万事大吉。

作AF⊥BE，垂足为F，AF=FE（图10）。

易证A、B、D、F四点共圆，弦AF=FD。

这样AF=FE=FD，点F即为△ADE的外心（△ADE外接圆的圆心）圆周角ADE=1/2圆心角AFE=45°。

显然DE为直角ADC的角平分线，本题结论成立。