根号二乘三倍的根号二等于多少（根号二的无限根号二次方）

前面已经介绍过，下面两个无穷项的表达式：

这两个表达式在某种意义上具有“互逆性”，且都收敛，前者收敛到2，后者收敛到4。

2和4恰好是方程

的两个根。

为什么前者收敛到2，后者收敛到4呢？

追根溯源，这是函数不动点的问题。

函数的不动点，就是在函数的作用下没有变动的一个数。例如，对于函数y=2x-1,不动点就是x=1,因为2*1-1还等于1。对于函数y=x,每个x都是不动点。

对于函数y=(√2)^x，x=2和x=4就是其两个不动点。

关于不动点，有一个很有意思的定理，缩水版（一维版）的巴拿赫Banach不动点定理：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，对任意x1,x2∈[a,b],满足

|f(x1)-f(x2)|≤q|x1-x2|,其中0<q<1是一个常数，那么

1.f(x)在[a,b]上有且仅有一个不动点x*；

2.任取x0∈[a,b]，序列x0,f(x0),f(f(x0)),f(f(f(x0)))....收敛，其的极限为x*。

结合拉格朗日中值定理，当f(x)导数存在时，条件可以改成导数f'(x)的绝对值小于等于q即可。

巴拿赫Banach不动点定理又叫压缩映射定理，在生活中的应用随处可见，比如：

三维版：一杯水，各种搅拌（没有溢出且假设物质连续无限可分的话），最后，总存在一小团水搅拌后与搅拌前的位置不变。二维版：一张纸，摊开放平，然后先Pia!(ｏ ‵-′)揉成一个团，再Pia!(ｏ ‵-′)压成一个饼，把饼放到原来纸的位置，那么这张纸上至少有一个位置前后不变。（不是说过程中位置不变，而是将最终状态与初始状态比较，位置不变。）

言归正传。

考察函数y=(√2)^x。容易知道，该函数在（-∞,2]上满足不动点定理的假设，是一个压缩映射，故有唯一不动点，x=2。在（2， ∞)上，函数不是压缩映射，而是带有放大性质的映射。

既然在（2， ∞)上，函数y=(√2)^x具有放大性质，那么反过来，它的反函数，y=log_√2 x,就是一个压缩映射，于是具有唯一的不动点，也就是x=4。

为了计算这个2或者4，只需要在相应的区间内任取一个初始值，然后不断地用函数表达式进行迭代，迭代无穷多次，极限就是要求的不动点。这个不断迭代的过程，可以写成一个数列，也可以故弄玄虚，写成吓唬人的一大块。

所以现在清楚了，看起来很吓唬人的、包含无穷的表达式，其实反映的就是为了计算不动点而不断迭代的过程。

下面还有几个具有无穷迭代的表达式，

机智如你，一定可以创造出其他有趣的无穷迭代表达式~~~