两角和与差的三角函数题（第二百七十二夜）

本讲的标题略长，但一时又没想到更合适的，只能将就了。本来还更长的，叫“斜率互为相反数的共点弦中的斜率定值问题研究”，如果不解释，你根本不知道我在说啥。

其实我也不知道自己在说啥。

标题不重要，重要的是你知道我在说啥。

如果你也不知道，还有什么好说的？想必只有过年了。一边过着年，一边看着我写的笔记，那滋味，想想都觉得酸爽。

不说了，先来酸爽一把吧。

本题是一道组合题，递进式关系。先求直线AB的斜率，再求弦长AB的范围，第一步是关键。事实上，本题完全可以去掉第二步，只留第一步单独命题。

法1，设线。点T的坐标一定，所以设直线TA的方程与椭圆联立，那么韦达定理可以轻松求得A点的坐标。由于TB与TA的斜率互为相反数，于是将斜率换为相反数即可求得B点的坐标。这是圆锥曲线中简化运算的基本操作。

法2，设线。A、B两点均值椭圆上，所以设直线AB的方程，自然而然。法2似乎比法1在过程上更简单，这完全是一个美丽的误解。看来你还是不了解我。我有一个习惯，会把最基本、最常用的通法放在法1。坦率说，法1，大多数人都能计算出结果，而法2则不然。原因在于最后的结果无法化简，对这个复杂的方程无能为力。事实上，这算不得什么，无非就是因式分解而已。

对本题而言，法1与法2均为常规的打开方式，掌握一种或者两种都行。而下面的法3至法5纯属玩味，不感兴趣的可以直接略过。

为什么直线AB的斜率会与椭圆在点T处切线的斜率互为相反数呢？这是莫名的巧合，还是历史的必然？

让我们从下图说起。

过点T作x轴的垂线交椭圆于另一点P，当A、B两点无限靠近P点时，直线AB无限接近P点的切线。由椭圆的对称性知，P点的切线与T点的切线关于x轴对称，因此两切线的斜率互为相反数。这便是法4和法5的解题依据。