两角和与差的三角函数题(第二百七十二夜)

本讲的标题略长,但一时又没想到更合适的,只能将就了。本来还更长的,叫“斜率互为相反数的共点弦中的斜率定值问题研究”,如果不解释,你根本不知道我在说啥。

其实我也不知道自己在说啥。

标题不重要,重要的是你知道我在说啥。

如果你也不知道,还有什么好说的?想必只有过年了。一边过着年,一边看着我写的笔记,那滋味,想想都觉得酸爽。

不说了,先来酸爽一把吧。

两角和与差的三角函数题(第二百七十二夜)(1)

两角和与差的三角函数题(第二百七十二夜)(2)

本题是一道组合题,递进式关系。先求直线AB的斜率,再求弦长AB的范围,第一步是关键。事实上,本题完全可以去掉第二步,只留第一步单独命题。

法1,设线。点T的坐标一定,所以设直线TA的方程与椭圆联立,那么韦达定理可以轻松求得A点的坐标。由于TB与TA的斜率互为相反数,于是将斜率换为相反数即可求得B点的坐标。这是圆锥曲线中简化运算的基本操作。

两角和与差的三角函数题(第二百七十二夜)(3)

法2,设线。A、B两点均值椭圆上,所以设直线AB的方程,自然而然。法2似乎比法1在过程上更简单,这完全是一个美丽的误解。看来你还是不了解我。我有一个习惯,会把最基本、最常用的通法放在法1。坦率说,法1,大多数人都能计算出结果,而法2则不然。原因在于最后的结果无法化简,对这个复杂的方程无能为力。事实上,这算不得什么,无非就是因式分解而已。

对本题而言,法1与法2均为常规的打开方式,掌握一种或者两种都行。而下面的法3至法5纯属玩味,不感兴趣的可以直接略过。

两角和与差的三角函数题(第二百七十二夜)(4)

为什么直线AB的斜率会与椭圆在点T处切线的斜率互为相反数呢?这是莫名的巧合,还是历史的必然?

让我们从下图说起。

过点T作x轴的垂线交椭圆于另一点P,当A、B两点无限靠近P点时,直线AB无限接近P点的切线。由椭圆的对称性知,P点的切线与T点的切线关于x轴对称,因此两切线的斜率互为相反数。这便是法4和法5的解题依据。

两角和与差的三角函数题(第二百七十二夜)(5)

两角和与差的三角函数题(第二百七十二夜)(6)

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