九章算术对数学的意义（数与算术的本质）

弗雷格

理性的真正对象就是理性。我们在算术中处理的对象，不是通过感官的中介获知的、来自外部的陌生事物，而是直接给予理性的对象，它们作为理性自身的东西是理性完全可以洞察的。——弗雷格

胡塞尔

自古代以来，实际上数千年来，一直在反复尝试分析数学被奠基的概念，分析数学被建立其上的基本真理，以及分析使得数学总是作为严格科学演绎之典范的方法。——胡塞尔

尽管数学长期以来被视为知识与演绎方法的范例，但在数学基础领域，不仅基本概念与基本原理含糊不清，而且事实上充满了悖谬。以《几何原本》为例，它最初的23个定义都是区分性和描述性的，不能真正说明几何的研究对象。一般认为，《几何原本》中的基本对象是点、线和面，也还可以包括立体。关于点，《几何原本》的第一个定义说“点是没有部分的”，仅凭这个定义我们实际上不能理解点的确切意义，它显然只是对点与线作了描述性区分。第三个定义说"线的两端是点"，结合点的定义，我们似乎很难找到端点，从而线段也是可疑的。

按照《几何原本》对线的处理，线上其实处处都是点，由于古希腊人的数学观念中没有0这个概念，如果我们把点理解为0的话，点与线的问题就更加困难。现代数学中常常把点解释为一个特定的位置，点与点的差别表现为位置的差别，这似乎同样没有说明点自身是什么。面对这样的问题，即使是像希尔伯特这样杰出的学者也是避而不谈的。

在算术中，基本概念与基本原理方面的问题更加困难。在几何中，人们对几何对象的理解最终可以诉诸对可感图形的直观，但在算术中直观基本上是无效的。例如，人们都能看见三个苹果，也能意识到这些苹果的数是3却无法看见这个3。自柏拉图以来，人们清楚地知道数学必须是独立于经验世界的理论科学，但如果连基本对象和基础概念都不能明确并只能依赖感性，数学就不配科学之名。上面所引述的弗雷格与胡塞尔的话，反映了数学必须是科学但又难以成为科学的困境。严格说来，从《几何原本》开始的公理化方法，即使能建立一个无可挑剔的公理系统，也是退而求其次的办法。

弗雷格在《算术基础》中认为，数不能通过直观而获知恰恰表明数是理性的对象，与几何是先天综合的不同，算术是先天分析的，算术的可靠性不需要经验验证。弗雷格试图通过严密的定义无歧义地把握个别的数，并通过建立算术公理系统使算术成为真正的科学。胡塞尔认为弗雷格的逻辑定义不仅不能把握到数的本质，也歪曲了数的本质。他在批评弗雷格时提出了一个值得关注的看法∶

人们只能定义逻辑上的复合物。一旦我们遇到终极的基础概念，所有的定义都终止了。没有人能定义如性质、程度、位置、时间和类似的概念。这也适于基本关系和奠基于基本关系的概念。等同、相似、增加、整体与部分、多和一，等等，都是完全不适合形式逻辑定义的概念。

初始概念如果能被定义，它就不能是初始概念，这是数学基础问题的两难困境。在胡塞尔看来，如果像几何的点、线和算术的数等初始概念不可能通过任何定义而被澄清，就只能通过哲学才能澄清它们的本质，探讨数学基础问题实际上是一件哲学工作。受布伦塔诺和施通普夫的影响，胡塞尔认为只有回到基础概念得以产生的具体现象并分析与之相关的抽象过程和心理行为，基础概念和数学的本质才可能彻底澄清。由此，弗雷格与胡塞尔之间产生了巨大的分歧。

数与算术的本质问题被誉为西方数学和哲学的千古难题，并至今仍然是数学哲学的核心难题。现代数学哲学的两个基本问题，自然数和连续统（即实数），其实是数的本质问题的一体两面。要研究数与算术的本质，我们必须先确定我们的研究对象。就数而言，尽管一些古老的智慧民族已经学会了数数但严格的数概念是由毕达哥拉斯学派建立的。这种数是∶

以上四种不同表达实质上是一致的，即数是由若干单位1组成的，也就是基数，绝大多数西方学者都是把数理解为基数。现代数论无论多么复杂，它的出发点就是这种自然数列。由此，我们也确立了算术哲学的研究对象。把数理解为多并构造为严整的自然数列，这个贡献出自毕达哥拉斯学派。之所以说这些数是严整的，因为其中的1是处处相互等同的，算术哲学中的很多难题总是与这种1相关。毕达哥拉斯学派对数的研究非常独特和深刻，我们甚至至今还不能完全理解他们的成就。罗素就曾很有见地地指出，

起始于数理神秘主义的毕达哥拉斯的学说，对所有后来哲学和数学的影响比一般理解要更深刻。

掌握了中级数学的人都能准确理解和应用自然数，在数学分析之外更多的数学知识对于理解算术哲学的基本问题助益不大，只有回到哲学史才能把握算术哲学的问题所在。具体说来，数学和数学哲学本来就是古希腊学者所发现的，其中的问题也是古希腊思维所特有的问题。

在日常生活中，我们对数如此熟悉，恰如洛克所指出的，"数是最简单最普遍的观念”，同时也是最清晰的观念，“二与一的差别，正同二百与一的差别，以及二的观念与三的观念之差别”，都是厘然分明的。

英国经验论者的观念都出自对物理对象的印象，但物理事物和相应的印象都会消亡，数的观念会由此消亡吗？如果数存在于这些印象之中，数就不能是非时空的超越之物；如果数不是印象之中的东西，我们怎么可能通过印象而得到相应的观念？由此可见，数概念的清晰性是有限的，但这种日常的清晰性很可能是古希腊之外的民族没有发现数的本质问题的重要原因之一。

不少学者并不认为数是普遍的概念，但弗雷格与胡塞尔都认为数是最普遍的，即能够适用于任何现实事物和任何可想象的事物。但随着罗素悖论的出现，数与算术的普遍性是需要谨慎对待的。

尽管不知道数是什么，而且所有关于数的本质定义最终都是失败的，但似乎必须承认在日常生活中我们已经“默会”了数的本质，因为我们能够熟练且毫无差错地运用算术，我们也无法想象全部数学中的算术可能是不对的。胡塞尔认为这种默会的数就是数在生活世界中的意义，这种数是《算术哲学》的重要前提，事实上也是弗雷格算术哲学的基本前提。

相对于弗雷格的《算术基础》曾经一度被埋没，《算术哲学》的价值被埋没得更久。《算术哲学》被忽视的原因很多，主要原因之一是被弗雷格指责为犯了心理主义的错误，之二是其中的心理学方法尽管在胡塞尔的时代非常流行，但对现代学者却是极其陌生的。

在研究算术哲学方面，弗雷格的《算术基础》和胡塞尔的《算术哲学》是哲学史上迄今为止成就最高的两部专著。弗雷格和胡塞尔的相关研究不仅在数学哲学史上非常重要，而且在哲学史上也产生了深远影响，数学再次在哲学发展的关键时点扮演了举足轻重的历史角色。法国学者布尔多曾把弗雷格与胡塞尔比作莱茵河和多瑙河，二者有共同的起源却最终相距成千上万里。两人的影响所及，正是20世纪最重要的两大哲学运动———分析哲学和现象学的分裂。正是因为《算术基础》和《算术哲学》在两个不同方向上的独特地位，所以二者构成了我们研究算术哲学的主要文本。