初二特殊四边形压轴题(存在性问题之特殊四边形-例题讲解)

存在性问题之特殊四边形

1.菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直;

2.矩形存在性问题,抓住内角90°与对角线相等;

3.正方形存在性问题抓住等腰直角三角形的性质即可.

【例题讲解】

初二特殊四边形压轴题(存在性问题之特殊四边形-例题讲解)(1)

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【解析】

四边形CPBD不可能为菱形.依题意可得AC=t,OC=4-t,PA=3t-4,PB=7-3t,由CD//AB,利用相似比表示CD,由菱形的性质得CD=PB可求t的值,又当四边形CPBD为菱形时,PC=PB=7-3t,把t代入PA² AC²,PC²中,看结果是否相等如果结果不相等,就不能构成菱形.设直线l比P点迟x秒出发,则AC=t-x,OC=4-t a,再利用平行线表示CD,根据CD=PB,PC//OB,得相似比,分别表示t,列方程求a即可.

【点评】

本题考查了直线与圆的位置关系,勾股定理的运用,菱形的性质.关键是根据菱形的性质,对边平行,邻边相等,得出相似比及边相等的等式,运用代数方法,列方程求解.

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【解析】

(1)对于直线解析式,分别令x与y为0求出对应y与x的值,即可求出A与B坐标;

(2)如图1所示,过P作PH垂直于x轴,由题意求出OQ=BP=1,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出AB的长,进而求出sin∠ABO的值,根据BP=t表示出PH,分情况分类讨论表示出S与t的函数关系式即可;

(3)存在点N,使得以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形,分三种情况考虑:

①如图2所示,当∠APQ=90°时,∠BPQ=∠AOB=90°;②如果∠PAQ=90°;③如果∠AQP=90°,当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3),分别求出t的值,进而相应求出N的坐标即可.

【点评】

此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,勾股定理,坐标与图形性质,相似三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.

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【解析】

(1)根据待定系数法,可得函数解析式;

(2)根据轴对称,可得M'的坐标,根据待定系数法,可得AM'的解析式,根据解方程组,可得C点坐标,根据三角形的面积公式,可得答案;

(3)根据正方形的性质,可得P、Q点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式.

【点评】

本题考查了二次函数综合题,(1)利用待定系数法求函数解析式;(2)利用轴对称的性质得出M'的解析式,利用待定系数法得出AM的解析式,利用解方程组得出C点坐标是解题关键;(3)利用正方形的性质得出P、Q点坐标是解题关键,又利用待定系数法求函数解析式,注意要分类讨论,以防遗漏.

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