函数零点与方程解题技巧（数学一轮复习12函数与方程）

【考试要求】

1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；

2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．

【知识梳理】

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)

在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

【规律方法】　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

【规律方法】　函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

【规律方法】　1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.

2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

【反思与感悟】

1.转化思想在函数零点问题中的应用

方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.

2.判断函数零点个数的常用方法

(1)通过解方程来判断.

(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.

(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.

【易错防范】

1.若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点.特别是，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点.

2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

,