数列求和如何转换为定积分（菜鸡速通微积分）

大家好。感谢阅读本鸡的拙作，期待你关注。

本鸡的理念是，理解数学只能类比。本文就是一个具体例子。本文专为初学微积分的选手设计，需要复习微积分概念的选手也可获益。

本文从最容易的十进制展开，一线贯通数列、级数、幂级数、函数项级数。强烈建议你读本鸡的拙作“菜鸡速通微积分：数列极限定义和极限法则，一个例子的事“。下面就是这个故事的另一个版本。

别废话，来啊。

一、从十进制展开到数列

观察下面的图，这是明摆着的，你知道的π的十进制展开：π=3.1415926...........。

很明显，图里面写的是一个数列，并且，明摆着是一个收敛到π的数列。如果不看具体的数字，只看字母，这就是序列。请心里一直想着这个序列。有一点要强调一下，就是如果你只想用π的近似值，事实上，你永远只能用一个近似值，就可以扔掉某项以后的所有数字。比方说你写个

近似的前提是确实收敛

二、从数列到级数

现在，重要的是，这个数列可以看做一个级数（无穷和）

不论你是否写成了这个更麻烦的形式，重要的是，无穷级数的收敛性，本质上就是序列的收敛性。说得明白一点，你得明白部分和序列：只求若干有限项的和。比方说，第一张图里那些a1、a2......这个序列里面的每一个都是部分和，因此叫做部分和序列。

再麻烦些，还可以写成下面的样子，这还是废话。

位和权表达

10的负多少次方，就叫做位，其对应的乘数，就叫做权。比方说，第一位是10^0，就是个位数；个位数的值，就是权值。还是那句话，不管你怎么写，极限是π这件事是明摆着的。插一句废话，这仍然是十进制展开，重要的是任何实数都有十进制展开。

三、从级数到幂级数

稍微抽象一下，现在咱用字母代替10，比方说，你写个x=10，这样，就又变成了

如果现在x不是10，就是换不同的位，当然左边就不是π了。如果还想得到π，就必须重新写不同的权。重要的是，现在的情况更有意思了，实际上，你能想象出来，同一个数，可以写成任意进制。当然，现在的位和权必须配合好了，才能获得π。

现在咱不指定位，那么就没法指明权，写的抽象一点，就是

现在，希望你还没崩溃。当然，现在得写个更一般些的形式：

x不同，就得到不同的和

死死地盯着右边的求和号里面的东西，确保你同意，每一个都是某个幂的单项式，因此叫做幂级数。

当然，还是那句话，近似的前提是收敛。如果x可以变化，看做一个变量，那么左边就是对应的函数值了。不管怎么说，这还是个和，所以对应的和就叫和函数。

如果只写有限项，就是近似的多项式。等等！x=10收敛性是明摆着的，但是x=1呢？就变成了3 1 4 1 5 9 ........这明摆着是无穷大。一个幂级数，收敛性取决于x的值，换句话，x必须落在一范围内，才能收敛。这个范围的半径，就是收敛半径。数列审敛法，绝大多数，都能毫无困难地推广到级数理论。比如柯西准则，单调收敛，比较审敛法，更有趣的是还有积分审敛法---以后本鸡考虑推出”从十进制展开到积分“、”从十进制展开到傅里叶级数“等等系列。敬请期待。

再看看刚才的f（x）。写成刚才那个样子以后，还能进一步抽象--因为幂函数只是特殊的函数--所以，你可以看懂

特别的如果取fk（x）为三角函数，就是三角级数；取其（x-x0）的幂，就是泰勒级数，取ejwt，就是傅里叶级数...........

本文话题到此结束。

多说几句。

懂了函数项级数，就可能贯穿了实分析和复分析，概率论和泛函分析。

这里隐藏着一坨大神：拉格朗日，泰勒，洛朗，柯西，阿贝尔，斯通，维尔斯特拉斯，傅里叶，拉盖尔，贝塞尔，勒让德，勒贝格.....

不管怎么样，重要的是，这一切，都建立在序列，序列的收敛性和极限这几个根本的概念的基础上。如果谈极限存在性，就是泛函分析；如果谈极限唯一性，就是点集拓扑学；给函数项级数赋以具体的含义，就得到重心、期望、方差........

所以，极限的理论，是数学的核心理论；判断收敛的法则，是数学的核心定理。