九上数学相似三角形判定的证明(相似三角形判定定理证明浅见)

初中阶级,相似三角形的判定,只给出了判定的方法,并没有给出这些方法的证明,在这里,我想对这些方法的证明,给出我的浅见。

相似三角形判定的方法主要有三个:

方法一:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

方法二:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。

方法三:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。


方法一

九上数学相似三角形判定的证明(相似三角形判定定理证明浅见)(1)

ΔABC和ΔADE中,∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,求证:ΔABC∽ΔADE。

为了方便证明,将两个三角形合并到一个图形当中。

首先证明三个角对应相等。

∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,可以推出∠ACB=∠AED。

三个角对应相等证明完,接下证明三角边对应成比例。

∠ABC=∠ADE,可证出BC//DE,可得AB:DB=AC:CE=k。

设AB=a,BC=b,得AC=ak,CE=bk。

作CF//AD,可得CE:AC=EF:DF=k1,

可得,EF=bk1,DF=ak1.

四边形BCFD是平行四边形,可得BC=DF=ak1。

可得AB:AD=AC:AE=BC:DE=a:(a b)

所以,两个三角形相似。

方法二

这道题主要运用到平行线分线段成比例逆用,也就是,直线分线段成比例,那么直线平行。

九上数学相似三角形判定的证明(相似三角形判定定理证明浅见)(2)

如图所示,AB:BD=AC:CE,求证:BC//DE.

这个用到反证法。

若BC不平行于DE,那么过D点作DF//BC,与AE所在的直线相交于F

可得,AB:BD=AC:CF.

因为AB:BD=AC:CE,所以CE=CF,可知E、F两点重合。

所以BC//DE。

接下来我们来证明方法二

九上数学相似三角形判定的证明(相似三角形判定定理证明浅见)(3)

为了方便,还是将两个三角形合并到一个图形中。

ΔABC和ΔADE中,AB:AD=AC:AE,求证:ΔABC∽ΔADE。

AB:AD=AC:AE,可得BC//DE,可得∠ABC=∠D。

所以,两个三角形相似。

方法三

九上数学相似三角形判定的证明(相似三角形判定定理证明浅见)(4)

ΔADE和ΔOPQ中,AD:OP=AE:OQ=DE:PQ.

作AB=OP,AC=OQ,

可得,AB:AD=AC:AE,

可得,ΔADE∽ΔABC,

可得,BC:DE=AB:AD=AC:AE。

可得,BC=PQ。

可得,ΔABC全等于ΔOPQ

所以,两个三角形相似。

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