七年级三视图还原立体图技巧（高一必修二根据三视图判断直观图的方法技巧）

本文转载于“数学知了”，略有修改

由几何体的三视图想象直观图是高考常考的知识点，而很多空间想象力弱的同学也常常失分.下面结合三视图的形成过程来教大家一招破解之术.

适用说明

本篇文章的方法，适用于初学者或是一些较难观察的图形。如果你的空间想象能力足够强或是处理一些较规则图形，可以不采用这种方法。

本篇文章一共两道例题，初学者或现阶段成绩在0分-60分的同学重点关注例1；60分-90分的同学重点关注例2。

一、三视图的形成

首先在一个长方体中确立V 、 H 、 W 三个投影面，如下图所示，将形体放置在其中，然后分别向三个投影面作正投影。

在三个投影面上作出形体的投影后，为了作图和表示的方便，将这三个投影面展开摊平在一个平面上。

规定的展开方法是：V面保持不动，将H面和W面按图中箭头所指方向分别绕OX和OY轴旋转，使 H面和W面均与V面处于同一平面内，即得如下图所示的形体的三面投影图。并规定：V面投影图称为主视图；H面投影图称为俯视图；W面投影图称为左视图.

这就是形体的三视图.

三视图的投影规则是：主视、俯视长对正；主视、左视高平齐；俯视、左视宽相等.

从另一个角度说，几何体的三视图可以看成：把几何体放置在一个长方体内，分别从前往后、从上往下、从左往右三个方向挤压长方体所得.

我们将挤压长方体得几何体三视图的过程倒过来看，就容易看出由三视图画直观图的关键之处.

以上动画告诉我们可以这么做：先在长方体的下底面画俯视图 ，再看正视图和侧视图，根据这两个图来确定俯视图的哪几个顶点可以沿着垂直于长方体底面的直线往上升？升多高（能否升到长方体的上底面）？

看完上述内容，想必你已经有了“由三视图画直观图”的妙招了.

二、看三视图画直观图

这妙招就是由七步完成，下面结合例子，说说这妙招.

例1 几何体的三视图如下图，画出其直观图

适用说明：这道例题适合初学者或现阶段0分-60分的同学重点关注。

请认真看好七步妙招：

第1步：画一个长方体.

第2步：在长方体的下底面画俯视图 (关键是画俯视图的顶点，你可以将顶点标上记号，比如画上小圈圈).

第3步：看正视图. 一般地，如果正视图在长方体的下底面的那条边上有直角，则这个直角顶点有可能往上升；如果没有直角，则这个非直角顶点不可能往上升，常常把这些点化去；(你可以将正视图中不能上升的顶点标上记号“\”)

第4步：看侧视图. 同样，如果侧视图在长方体的下底面的那条边上有直角，则这个直角顶点有可能往上升；如果没有直角，则这个非直角顶点不可能往上升，常常把这些点化去；(同样，不能上升的顶点标上记号“\”)

综合第3步、第4步结果，再次判断俯视图的哪些顶点可以沿着垂直于长方体底面的直线往上升至长方体上底面，哪些顶点不能升至长方体上底面. 还可以确定长方体上、下底面的哪些顶点不可能是直观图的顶点(你可以将这些顶点标上记号“×”).

第5步：再看正视图和侧视图，哪些顶点是直观图的顶点(可以将它们标上记号“√”).

第6步：将第5步确定的直观图顶点连接起来，得所需画的直观图.

第7步：检验所画直观图是否符合三视图，不合则修正；符合则大功告成！

“七步妙招”可以概括为：画长俯（指第1步画长方体、第2步画俯视图），看正侧（指第3步看正视图、第4步看侧视图），定顶点（指第5步确定直观图顶点），连成图（指第6步连直观图顶点、第7步成图）.

例2 （选自2016年高考全国新课标卷Ⅲ 理科9）几何体的三视图如下图，画出其直观图

适用说明：这道例题适合初学者或现阶段0分-60分的同学重点关注。

运用“七步妙招”：

第1步 画一个长方体（略去）；

“七步妙招”是不是很实用，快来练熟它.

三、练习

练习1：根据几何体的如下三视图，画出其直观图

（1）

（2）

练习2：近几年全国高考卷题选

（1）(2017年全国新课标Ⅰ卷 理科T.7)．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.

该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

（2）（2016年全国新课标Ⅱ卷 理科T.6 文科T.7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，

则该几何体的表面积为( )

（3）（2015年全国新课标Ⅱ卷 理科 文科T.6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，

则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（4）(2014年全国新课标Ⅰ卷理科T.12) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，

则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为

练习参考答案：

练习1（1）

练习1（2）

练习2（1）B； （2）C；

（3）D； 提示：由三视图得，在正方体A­BCD-A1­B1C1D1中，截去部分是四面体A-A1­B1D1，如图所示，

（4）C；提示：三视图对应的多面体为三棱锥A­BCD (正方体的棱长为4)，

最后再回顾“七步妙招”口诀：画长俯，看正侧，定顶点，连成图.

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