中考题型及解题方法解直角三角形（初中数学）

初中数学中，"化斜为直”作为一种解题策略，应用相当广泛，也可以说是一种重要的转化思想，它可以将各种"斜”元素转化为"直”元素，如将"斜”线段化到"直”线段，"斜"距离化到"直"距离，"斜”比化到"直”比，"斜”角化到"直“角，"斜"三角形化到"直”三角形，"斜”正方形化到"直“正方形，"斜”面积化到"直”面积，"斜"运动化到"直“运动等，常见作"水平，竖直"的辅助线，当然不是唯一的，下面以几例三角函数题进行说明.

一.无直角，无等角的三角形作高

1.如图，在△ABC中，已知BC=1 √3，∠B=60°，∠C=45°，求AB的长.

【分析】本题条件简单，明了，求AB的长是一条"斜”着的线段，生活中，我们见到的物体绝大多数是水平，竖直放着的，它符合我们的审美观，同时这种放置，物体也是较稳定的，数学中画出的图形，水平，竖着的时候也容易计算，这样遇到"斜”的线段，或角，或其它图形等，往往就需要转化为"水平，竖直”的图形，这就是"斜”化"直”策略，总的思想是把"斜"的不易计算的转化为"直”的容易计算的，常见的方法是，作"水平或竖直"的辅助线，所以这一辅助线非常重要。就本题来说，过A点作AD⊥BC于D，如图

由于∠C=45°，则AD=DC，又由于∠B=60°，则AB=AD÷sin60°=2√3AD/3，从而斜线段AB转化为竖直线段AD，又BD=AD÷tan60°=AD÷√3=√3AD/3，设AD=DC=x，则BD=√3x/3，∴√3x/3 x=1 √3，解得x=√3，则AB=2√3×√3/3=2.

二.有直角、无三角形的图形延长某些边

2.如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求四边形ABCD的面积.

【分析】要求不规则四边形ABCD的面积，我们想到用"割补法”来计算，其中有"斜”线段BC，相应的要转为"直"线段，如图延长AD，BC，交于点E.

∵∠A=60°，∠B=90°∴∠E=30°，在Rt△ABE中，BE=AB/tan30°=2/tan30°=2√3，在Rt△CDE中，EC=2CD=2，∴DE=EC×cos30°=2×√3/2=√3，∴S四边形ABCD=SRt△ABE一SRt△ECD=1/2×AB×BE一1/2×CD×ED=1/2×2×2√3一1/2×1×√3=3√3/2.

当然本题也可用下图几种方法计算，给出图形，同学们自己做一做.

①

②

③

三.有三角函数值不能直接利用时作垂线

3.如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD=1/3，求tanA的值.

【分析】条件有sin∠BCD=1/3，但没有∠BCD所在的直角三角形，无法利用，但已知DC⊥AC，且D为AB的中点，通过倍长中线或作垂线都能构造含∠BCD的直角三角形，如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，

∵点D是AB的中点，∴AD=BD，又∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△BED，∴CD=DE，AC=BE，在Rt△CBE中，sin∠BCE=BE/BC=1/3，∴BC=3BE，由勾股定理得，CE=2√2BE，∴CD=CE/2=√2BE=√2AC，∴tanA=CD/AC=√2.

四.求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形

4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=1/2∠BAC，求tan∠BPC的值.

【分析】∵AB=AC=5，BC=8，则等腰△ABC是确定的，又∠BPC=1/2∠BAC，我们就想到过点A作AE⊥BC于E，如图，(利用三线合一)

则∠BAE=1/2∠BAC，∴∠BPC=∠BAE，BE=1/2BC=4，则AE=3，∴tan∠BPC=tan∠BAE=BE/AE=4/3.

五.利用网格画平行线构造直角三角形

5.如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值.

(1)直接写出图①中tan∠CPN的值_______;

(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值;

(3)如图③，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，求∠CPN的度数.

【分析】网格图形有关的题目，近年来在中考中常常出现，网格图本身有"水平，竖直的平行线，网格图中易于找线段间的比值关系，易于找相关的直角三角形，从而为解题带来了方便.

(1)观察到∠CPN不在直角三角形中，需构造一个含与∠CPN等角的直角三角形，注意到CE是正方形的对角线，则连接格点M，N，MN∥CE，再连接格点D，M，则∠DMN=90°，∠DNM=∠CPN，∴tan∠CPN=tan∠DNM=DM/MN=2√2/√2=2.

(2)仿照第(1)问，连接格点A，B，可得AB∥MC，连接BN，则∠ABN=90°，∠CPN=∠BAN，在Rt△ABN中，AB=BN=√5，AN=√10，∴cos∠CPN=cos∠BAN=√2/2.

(3)通过条件分析，构建以BC为1个单位长的网格图，连接格点A，D，格点D，N，如下图，

则AD∥CM，∴∠CPN=∠DAN，∠ADN=90°，在Rt△ADN中，AD=DN=√10，AN=2√5，∴cos∠CPN=cos∠DAN=AD/AN=√2/2，∴锐角∠CPN=∠DAN=45°.

【总结】以上列举了，化"斜”为"直“的常见方法，不管题目难还是易，但本身这一策略很重要，有了这一策略，遇到相关题目时心中便有了方法，不至于束手无策，平时做题时有意识地运用这一策略，方能使解题能力更上一层楼。解题方法有多种，需要同学们内化吸收，归纳总结，就像一个艺人一样，怀揣独门绝技，便能无往而不胜。

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