三角形与解三角形知识体系(与三角形有关的动态综合问题)

三角形与解三角形知识体系(与三角形有关的动态综合问题)(1)

三角形作为几何王国当中最基本、最重要内容之一,在整个中学数学内容中,占据很重要的位置。我们认真研究和分析很多几何综合问题,发现这些大题,都能拆分成若干个三角形,如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等,学会运用这些特殊三角形的性质去分析问题和解决问题。

举个简单的例子,任何一个与四边形有关的问题,我们只要做出对角线等,就可以构造一些三角形,此时综合运用它的性质和定理,就能顺利解决问题。

中考除了考查大家掌握必要的知识内容和方法技巧之外,更加考查考生运用知识分析问题和解决问题的能力。因此,在中考数学试卷当中,除了基础题之外,还有一些与三角形有关的综合应用问题,像三角形有关的动态综合问题。

典型例题分析1:

如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.

(1)求证:OP=OQ;

(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.

三角形与解三角形知识体系(与三角形有关的动态综合问题)(2)

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考点分析:

相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的性质;矩形的性质;证明题;动点型。

题干分析:

(1)本题需先根据四边形ABCD是矩形,得出AD∥BC,∠PDO=∠QBO,再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB,即可证出OP=OQ.

(2)本题需先根据已知条件得出∠A的度数,再根据AD=8厘米,AB=6厘米,得出BD和OD的长,再根据四边形PBQD是菱形时,证出△ODP∽△ADB,即可求出t的值,判断出四边形PBQD是菱形。

解题反思:

本题主要考查了矩形的性质,在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键。

这道动点问题难度不大,只要考生掌握好相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,就能正确解决问题。

我们都知道,动点问题之所以会难,主要在于它能把很多知识内容结合在一起,形成不同类型的动点综合问题,如函数动点综合问题、代数动点综合问题、函数与几何动点综合问题、几何动点综合问题等,而几何动点综合问题细分的话,又可以分出四边形动点综合问题、三角形动点综合问题、与圆相关的动点综合问题等。

典型例题分析2:

如图,在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为(8,o),点B的坐标为(11.4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O一C﹣B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为 ,直线l的解析式为 .

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.

(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.

(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.

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考点分析:

二次函数综合题;代数几何综合题;数形结合;分类讨论。

题干分析:

(1)由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标,将C点坐标代入正比例函数即可求得直线l的解析式;

(2)根据题意,得OP=t,AQ=2t,根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论,得到三种S关于t的函数,解题时注意t的取值范围;

(3)分别根据三种函数解析式求出当t为何值时,S最大,然后比较三个最大值,可知当当t=8/3时,S有最大值,最大值为128/9;

(4)根据题意并细心观察图象可知;当t=60/13时,△QMN为等腰三角形.

解题反思:

本题是二次函数的综合题,其中涉及的到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

与三角形有关的动点问题,主要抓住三角形里的一些不确定因素,如等腰三角形、相似三角形等,需要对边与边之间的关系进行分类讨论。同时,在解决问题过程中,或许还要添加辅助线,这个也是让很多考生头痛的地方。

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