梅森素数答案（数学史上规模最为宏大的探寻之旅）

2300 年前，在古希腊时期，为了处理整数的除法，把大于1的自然数里，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。称之为素数，欧几里得在《几何原本》中提出了一个非常经典的证明，称之为欧几里得素数定理。

在欧几里得素数定理中，欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2^p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。

欧几里得的研究为梅森素数的诞生奠定了基础，由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等）和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

梅森断言的提出与梅森素数的诞生

1644年，法国著名数学家梅森曾对“2^p-1”型素数作过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言，被称之为梅森猜想，这极大地激发了数学界的探索热情。

因为梅林是当时欧洲科学发史上的重要人物和法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会就将“2n-1”型的素数称为“梅森素数”，其余的数称为梅森合数。

梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数，因此寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。

因为梅森断言里前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。当时，人们对其猜想深信不疑，连德国数学大师莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

不过在300多年后，梅森的断言惨遭证伪，百年神话顷刻间破灭。

1903年，哥伦比亚大学的数学家科尔在美国数学会的一个会议上作了一篇《论大数的因式分解》。在“演讲”过程中，科尔始终一言不发，只默默地在黑板上进行计算。

他先算出2^67-1的结果，再算出193707721×761838257287的结果，两个结果完全一样，这就证明2^67-1能够被除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数整除。

科尔第一个否定了“2^67-1是个素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论，其“演讲”赢得了全场听众起立热烈鼓掌和齐声喝彩。这个“一言不发的演讲”也成了科学史上的佳话。

从手算笔录到计算机时代——梅森素数的探寻史

在科学发展史上，梅森素数的寻找在手算笔录年代曾作为检测人类智力发展的一项重要指标。

因为梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，还需要进行艰苦的计算，科尔对于2^67-1的推算花费了他三年的全部星期天，你就可以知道困难度有多高。

1772年，素有“数学上帝”之称的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1是第8个梅森素数；这个具有10位的素数（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。他的计算能力、大脑反应能力和解题技巧可以说无愧于“天选之子”的美誉。

而在计算机时代，梅森素数的发现则侧面反映了一个国家的科技水平。

因为计算机如果要发现梅森素数，需要强大的算力，这需要计算机具有强大的性能，从而一定程度上促进了计算机的发展，梅森素数也成了检测计算机功能的一项指标。

比如60年代末，人们使用第三代计算机探索梅森素数已变得十分艰难，所以1979年4月，美国克雷公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊使用Cray-1型超级计算机找到超过1万位的梅森素数M44497。

第三代计算机

梅森素数的探索，也激发着计算机理论的发展更新。比如由苹果公司著名科学家克兰多尔所发明的“快速椭圆加密系统”，就将梅森素数应用于快速加密和解密信息。梅森素数的搜索，促进了分布式计算与程序设计艺术的发展。

而法国数学家爱德华·卢卡斯和美国数学家德里克·莱默发明的“卢卡斯-莱默检验法”是迄今为止判断梅森数素性最快最有效的工具。

卢卡斯-莱默检验法是由爱德华·卢卡斯 于1878年完善，德里克·亨利·莱默随后于1930年代将其改进。主要用于梅森数的素性检验。

20世纪90年代中后期，在美国程序设计师沃特曼和库尔沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——因特网梅森素数大搜索（GIMPS）。 该项目采取网格计算的方式，并利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年，美国数学家、程序设计师库尔沃斯基建立了“素数网”，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。

梅森素数

人们只要在GIMPS的主页上下载一个计算梅森素数的免费程序，就可以立即参加该项目来搜寻新的梅森素数，有兴趣的数学爱好者也可以去参加一下。

GIMPS用这个检验法找到了不少很大的素数，最近几个最大的素数就是这个项目发现的。由于梅森数比随机选择的整数更有可能是素数，因此他们认为这是一个极有用的方法。

截止至2018年12月，总计发现51个梅森素数。而在这发现过程中，无数新的知识、理论、技术应运而生。

所以人们评价梅森素数的研究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术和计算机检测技术的发展。素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。

正是因为梅森素数具有重要意义，所以每一次梅森素数的发现都会成为重要的新闻。

1963年6月2日晚上8点，当美国数学家吉利斯领导的研究小组通过大型计算机找到第23个梅森素数——2^11213-1时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一震奋人心的消息；这在ABC的节目史上是绝无仅有的一次。另外美国一些报纸把这一消息作为头版头条来报道。

第50个梅森素数发现者

关于梅森素数的方程、猜想

关于梅森素数的猜想与方程也非常地多，除了梅森素数猜想，还有拉马努金-南哥尔方程、新梅森猜想、以及周氏猜测等。

新梅森猜想是用来检验素数是属于梅森素数还是瓦格斯塔夫素数的一个猜想， 形式如2^{p} 1/3的质数称为瓦格斯塔夫质数。

新梅森猜想它说明对于任何奇自然数p，若以下其中两句叙述成立，剩下的一句就会成立：

而周氏猜测是由我国著名的数学家、语言学家，周海中提出的模糊数理语言学、语言混沌论以及网络语言学等曾受到国内外学术界广泛关注。

1992年，周海中在《梅森素数的分布规律》中提出的。

英国数学家香克斯、法国数学家托洛塔、德国数学家伯利哈特、印度数学家拉曼纽杨和美国数学家吉里斯等曾分别提出过关于梅森素数的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式提出；而它们与实际情况的接近程度均难如人意。唯有周氏猜测是以精确表达式提出。

再经过近30年的发展之后，周氏猜测已经成为国际上知名的数学难题，著名的《科学》杂志有一篇文章指出：这项成果是素数研究的一项重大突破。

菲尔茨奖和沃尔夫奖 得主 阿特勒·塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。

周氏猜测的表达式貌似简单，但破解这一猜测的难度却很大。就目前研究文献来看，一些数学家和数学爱好者尝试证明周氏猜测，虽然绞尽脑汁，但仍一无所获。

可以说，随着梅森素数的不断深入研究，梅森素数的全貌一定会被科学家所掌握，到那时，数学的发展将会发布一个新的台阶，也期待中国数学家可以找到梅森素数的分布规律。

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