如何通过参数方程求二阶导数(二项式定理与高阶求导)
对于函数f(x),其导数记为f'(x),对导数再一次求导,记为f''(x),被称为二阶求导。(高中老师都说,这是二次求导,好吧,二次就二次吧,无所谓)
那么我们自然就会想,再求导下去会发生什么现象?
笨,那不就是三阶、四阶……导数嘛。
对哦,我们总不能写f'''''''''''''(x)吧,数点点也会数晕的哦,简记成
先看一个最简单的例子,
再举个稍微复杂例子。
我们发现,三角函数y=sinx的高阶导数是个周期变化。既然是周期变化,我们就可以做这样的变形。
加油,来个更复杂的例子。
最后来一个超级复杂的例子,看好了。
这个例子更深刻的意味是,对于两个函数相乘,它的高阶导数怎么求?
我发现,它们的系数居然有这样的规律
二阶导数:1 2 1
三阶导数:1 3 3 1
那么四阶导数的系数就猜测为:1 4 6 4 1
验证下:
居然是正确的,那么我们得到了一个特别爽的定理!
根据这个公式代入本例即可得
娘啊,这公式长得太像二项展开式了,回忆中是这样。
根据高考出卷人所声称的:我们的考题“来源于教材,但不拘泥于教材”。
突然有种细思极恐,不寒而栗的冷汗从后背渗出。
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