罗尔定理拉格朗日定理证明题（利用三角形面积行列式）

罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例。但是你知道吗？我们也可以运用罗尔中值定理，证明拉格朗日中值定理，这里要应用到三角形面积的行列式公式。问题是这样的：

以S(x)记由(a,f(a)),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.

分析：求由已知三点为顶点，组成的三角形面积，有一个行列式公式：

S(x)=|a, f(a), 1；b, f(b), 1；x, f(x), 1|，（其中元素间用逗号分隔，行与行间用分号分隔,下同）。

顺便介绍一下这个公式是怎么来的。如下图：

S(x)=(f(x)-f(a))(b-a)-(f(x)-f(a))(x-a)/2-(f(b)-f(a))(b-a)/2-(f(x)-f(b))(b-x)/2(正方形的面积减去三个三角形的面积)，

化简得：S(x)=(xf(a)-af(x)-bf(a) af(b) bf(x)-xf(b))/2

而行列式S(x)=(af(b) xf(a) bf(x)-xf(b)-af(x)-bf(a))/2，因此有上述的行列式公式。需要特别指出的是，上图中三点的顺序不可更改，即x属于[a,b]. 否则行列式的行就要交换位置，同时也会影响到后面的证明。

想要利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理，就要假设S(x)符合罗尔中值定理。只要f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，那么S(x)也就在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。因为S(x)是由x和f(x)以及常数加减乘除四则运算得到的。即S(x)是一个初等函数。

又S(a)=S(b)=0。从而S(x)就符合罗尔中值定理的条件，即在(a,b)上存在一点ξ，使得S’(ξ)=0.

又S‘(a)=|a, f(a), 1；b, f(b), 1；1, f'(x), 0|=|a, f(a), 1；b-a, f(b)-f(a), 0；1, f'(x), 0|

=(f'(x)(b-a)-(f(b)-f(a)))/2.

所以S’(ξ)=(f'(ξ)(b-a)-(f(b)-f(a)))/2=0. 即有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，这就是拉格朗日中值定理的一个变形公式，从而拉格朗日中值定理得证。

你体会到整个过程的精粹了吗？请自行组织证明过程，你肯定会更加理解这个证明过程的。