塞瓦定理的趣事（塞瓦定理Ceva39）

赛瓦定理是欧几里得平面几何中关于三角形的定理。 考虑一个三角形ABC。 设CE、BG和AF是一个顶点到对边的线段并且三条线的公共点是D。

塞瓦定理的表述：

根据塞瓦定理有,

此外, 上述的逆命题也成立，若：

AG/GC×CF/FB×BE/EA=1, 那么线段 AF, BG, CE 有共同的交点D。

塞瓦定理的证明

设h1和h2,分别为三角形CDF, BDF和ADG, GDC的高, h3是三角形BDE, ADE的高。令对应的 三角形的面积是S1, S2， S3, S4, S5，S6， 如图。

根据三角形面积之比为底乘高之比：

所以：

AG/GC=S5/S6=(S3 S4 S5)/(S1 S2 S6)(边比等于三角形ABG与CBG面积之比)

=(S3 S4)/(S1 S2) (利用等比性质)

同理：

CF/FB=S1/S2=（S5 S6/(S3 S4)

BE/EA=S3/S4= (S1 S2)/（S5 S6)

将上面三个式子左右相乘， 即得：

塞瓦定理的逆定理证明， 既有三条内部线段分割三角形的三个边，若满足：

那么这三条线交于一点。

假定 CE和AF相交于D，并假设经过D的分割线是BH。 根据塞维定理，

而根据条件：

由此：

因此：

上式说明H和G在AC上同一点是成立的，即H和G重合。 因此，BG、CE和AF相交于一点。