圆柱的表面积第一课精讲（巧解圆柱体表面积的变化问题）

《圆柱和圆锥》这一单元学习结束了，学生也做了很多的习题，今天袁老师给大家归纳整理与圆柱表面积的变化有关习题。

圆柱体表面积的变化到底有哪些呢？它们的变化规律又是怎样的呢？通过我在教学中的探讨，圆柱体的表面积变化主要有以下几种情况。

一、圆柱体的拼、截引起表面积的减少或增加

几个小圆柱拼在一起减少了面，并且减少的面就是圆柱的底面，每两个拼在一起，减少2个面（如图1），每3个拼在一起减少4个面（如图2）……即2个拼在一起，拼一次减少2个面，每3个拼在一起拼2次减少2×2个面，每4个拼在起拼3次减少2×3个面……

结论：n个相同的小圆柱体拼成较大的圆柱体，较大的圆柱体表面积比小圆柱体的表面积和减少的面积是：圆柱的底面积×［（n－1）×2］。

同理，如果把较大的圆柱体截成n个较小的圆柱体，n个小圆柱体的表面积和比原圆柱体的表面积多的面积是：圆柱的底面积×［（n－1）×2］。

例2 把一个底面半径4厘米,高5厘米的圆柱体沿直径截开成为2个完全一样的半圆柱，两个半圆柱的表面积和比原圆柱体的表面积增加多少平方厘米？

分析与解：截成2个半圆柱，增加的是两个长方形，长方形的长是圆柱的底面直径，高是圆柱的高，所以这道题增加的面积是：4×2×5×2＝80平方厘米。

结论：圆柱体沿直径截开成为2个完全一样的半圆柱，增加的面积是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的底面直径，高是圆柱的高。

三、圆柱体沿高截掉或增加一定的长度引起表面积的变化

例3 有一个高为8厘米的圆柱体，如果把高截短3厘米，表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体的体积是多少立方厘米？

分析与解：把高截短3厘米后圆柱变化情况：（1）原来圆柱截掉一部份后，剩下的圆柱体看见三个面，而上面原来是没有的；（2）截掉的一部份是圆柱体，原来没截之前看见两个面，就是减少的面积。我们可以把剩下的圆柱体上的面面积（增加部份）和截掉部分上面的面积（减少的面积）相互抵消，则减少的面积是截掉部份的侧面的面积。

表面积减少94.2平方厘米，就是截掉部份圆柱体侧面的面积是94.2平方厘米，解法是：（1）半径：94.2÷3÷π÷2＝5厘米；（2）体积：π×5×5×8=200π=628立方厘米。

结论：圆柱体沿高截掉或增加一定的长度，减少或增加的面积就是截掉或增加部份圆柱体的侧面面积。

四、圆柱体转化成长方体引起表面积的变化

在探究、推导圆柱体的体积计算时，通过把圆柱底面平均分成许多相等的扇形，再拼在一起，发现拼成的图形接近长方体，当然分的份数越多，就越接近长方体（如图），通过拼图形同学们发现：（1）长方体的长相当于圆柱底面周长的一半，宽相当于圆柱的底面半径。（2）圆柱的体积等于长方体的体积。拼成的长方体表面积比圆柱体表面积多了两个面，这两个面是完全一样的长方形，长是圆柱的底面半径，宽是圆柱的高，所以增加的表面积=半径×高×2=直径×高。

例4 把一个高10分米的圆柱体平均分成若干份再拼成一个近似的长方体，表面积增加40平方分米，求圆柱体的表面积和体积？

分析与解：这题关键是求圆柱的底面半径，半径：40÷2÷10＝2分米，这样此题就转化为已知底面半径是2分米，高10分米，求圆柱体的表面积和体积，这样把复杂问题简单化，同学们很容易就解决了这类问题。