能被11整除的数字特性（数字整除特性及其在考试中的应用）

数字整除特性举例说明：老王家养了一群羊，其中 3/7 是小尾寒羊，问老王家共有多少只羊？有小尾寒羊多少只？ 我们可以抓住题目中的特征符号——分数，老王家 3/7 是小尾寒羊，所以羊的总数能被 7 整除，小尾寒羊数量能被 3 整除那么哪些数具有能被 3 整除的特点？那么哪些数具有能被 7 整除的特点？我们 就非常有必要掌握这些数字的整除判定 （抓住题中关键数量关系，判断未知量被某数整除或具体的余数值，快速排除、甚至锁定选项），下面我们就来说一说关于能被11整除的数字特性?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

能被11整除的数字特性

数字整除特性

举例说明：老王家养了一群羊，其中 3/7 是小尾寒羊，问老王家共有多少只羊？有小尾寒羊多少只？ 我们可以抓住题目中的特征符号——分数，老王家 3/7 是小尾寒羊，所以羊的总数能被 7 整除，小尾寒羊数量能被 3 整除。那么哪些数具有能被 3 整除的特点？那么哪些数具有能被 7 整除的特点？我们 就非常有必要掌握这些数字的整除判定。 （抓住题中关键数量关系，判断未知量被某数整除或具体的余数值，快速排除、甚至锁定选项）

“数字整除特性法”是一种特殊的“代入法”，也是代入法中最重要的内容。这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数或比例特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法：能被2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13整除的数字的判定法则

2、4、8 整除及余数判定基本法则

1. 一个数能被 2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被 2（或 5）整除；

2. 一个数能被 4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被 4（或 25）整除；

数字整除特性

（二）数字整除特性的考察

直接使用整除特性：

【例 1】（ 黑龙江 2015-58）小李某月请了连续 5 天的年假，这 5 天的日期数字相乘为 7893600，问他最后一天年假的日期是( )。 、

A.25日 B. 26 日 C. 27 日 D. 28 日

解析：7893600各位数字值和不能被9整除，所以日期里不可能包含9因子的27日，排除CD，另外也不包括其7因子，排除A，答案选B

【例 2】（2011 年 424 联考-43）某单位招录了 10 名新员工，按其应聘成绩排名 1 到 10，并用 10 个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们 的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（ ）

A.9 B. 12 C. 15 D. 18

解析：第3名员工的各位数字值和可以被3整除，无法排除，进一步确认： 6以后可以被9整除，选B

【例3】（2018-北京）有一种电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，中午12时，它既响铃又亮灯，那么它下一次既响铃又亮灯是下午几点钟？（ ） A.1点钟 B.2点钟 C.3点钟 D.4点钟

解析：整点就会响铃，但只有分钟数是9的倍数才会亮灯，分钟数依次是60，120，180，240 选C

【例4】（2017-国家)某人出生于20世纪70年代，某年他发现从当年起连续10年自己的年龄与当年年份数字之和相等（出生当年算0岁）。问他在以下哪一年时，年龄为9的整数倍（） A．2006年B．2007年C．2008年D．2009年

解析：连续10个数字必然伴行一个数字可以被9整除，这一年年龄等于年份数字和，等于 该年份减掉掉出生年份，由此可知这年的年龄，这个年份都可以被9整除，要想某年年龄被9整除，那么这个年份也要能被9整除，选项中只有2007满足条件。

【例5】（2016-山东）高校的科研经费按来源分为纵向科研经费和横向科研经费，某高校机械学院2015年前4个月的纵向科研经费和横向科研经费的数字从小到大排列为20、26、27、28、31、38、44和50万元。如果前4个月纵向科研经费是前3个月横向科研经费的2倍，则该校机械学院2015年第4个月的横向科研经费是多少万元？

A、26 B、27 C、28 D、31

解析：八个月的数字之和可以被3整除，去掉的7个月的数字值和也是3的倍数，所以待求的月份的经费一定也是3的倍数，观察数据只有27，选择B

【例6】（2015-北京）四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者多少岁（ ）

A．30 B．29 C．28 D．27

解析：能被2700=27×25×4整除 可知应该含有25，且不含有27以外的其他3因子。C

【例7】（2017-广州）某批发市场有大、小两种规格的盒装鸡蛋，每个大盒里装有23个鸡蛋，每个小盒里装有16个鸡蛋。餐厅采购员小王去该市场买了500个鸡蛋，则大盒装一共比小盒装（ ）。 A.多2盒 B.少1盒 C.少46个鸡蛋 D.多52个鸡蛋

解析：23x 16y=500，x必为4的倍数，验算得x=12、y=14，（23×12）-（16×14）=52，选D

【例8】（2015-江苏）设a、b均为正整数，若11a 7b=132，则a的值为： A.3 B.4 C.5 D.6

解析：132是11的倍数，所以b是11的倍数b=11，a=5 选C

因子整除特性：在乘法运算中，如果涉及“小数”，那么 2 和 5 的因子可能会随着乘法而消失，而其 它的因子，譬如 3、7、9、11、13 等不会因为乘法而消失。

【例 1】（陕西 2013-81）学校组织学生举行献爱心捐款活动，某年级共有 3 个班，甲班 捐款数是另外两个班捐款总数的2/5，乙班捐款数是丙班的1.2倍，丙班捐款数比甲班多300 元，则这三个班一共捐款（ ）元。 A.6000 B.6600 C.7000 D.7700

解析：总数=（乙班 甲班）×7/5=2.2×丙班×7/5 含有7和11因子 选D

【例 2】（天津 2014-10）王明抄写一份报告，如果每分钟抄写 30 个字，则用若干小时 可以抄完。当抄完 2/5 时，将工作效率提高 40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报 告共有多少字？（ ）

A.6025 B.7200 C.7250 D.5250

解析：总字数应该含有3因子排除AC和7因子排除B，只有选项D满足

【例3】（2019-国家）有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍。今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人？

A.55B.65 C.75 D.85

解析：假设去年优的人数为x，今年为2.2x，2.2x-100 = least least 100=2.2x 是11的倍数

通过比例关系确定整除特性：

【例 1】（上海 2015A-71）公司四名促销员某月共推销新产品 100 件，甲与丁共推销 64 件，甲与乙推销量的比例为 5∶3，丙与丁推销量的比例为 1∶2，则甲该月推销了( )件。

A. 20 B. 28 C. 38 D. 40

解析：甲：乙=5：3 甲的销量应该是5的倍数，所以排除B，C，带入验证，可确定答案为 D

【例 2】（北京 2015-84）甲、乙两个班各有 40 多名学生，男女生比例甲班为 5：6，乙 班为 5：4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和（ ）？

A.多 1 人 B.多 2 人 C.少 1 人 D.少 2 人

解析：根据比例关系，可以确定甲班人数是11的倍数，乙班人数是9的倍数，44人（20男，24女）45人（25男，20人），所以男生总共45人，女生总共44人，选A

【例3】(2015河南)某旅游公司有能载4名乘客的轿车和能载7名乘客的面包车若干辆，某日该公司将所有车辆分成车辆数相等的两个车队运送两支旅行团。已知两支旅行团共有79人，且每支车队都满载，问该公司轿车数量比面包车多多少辆？ A. 5B. 6C. 7D. 8

解析：假设轿车为x，面包车数量为y，则4x 7y=79 ，4x为偶数，7y只能为奇数，y为奇数，通过枚举法可以确定答案为B；

【例4】（2017北京）某企业共有职工100多人，其中，生产人员与非生产人员的人数之比为4：5，而研发与非研发人员的人数之比为3：5，已知生产人员不能同时担任研发人员，则该企业不在生产和研发两类岗位上的职工有多少人? A.20 B.30 C.24 D.26

解析：根据描述总人数是9（4：5）的倍数，也是8（3：5的倍数），所以总人数一定是72的倍数，100多人，同时是72的倍数，可以确定总人数是144，所以非生产人员80人，减去研发人员54人，D正确；

参考答案：B、D、

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