直线与平面垂直的判定经典例题（直线与平面垂直）

【考试要求】

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

【知识梳理】

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)范围：.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

【微点提醒】

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

疑误辨析

教材衍化

真题体验

考点聚焦

规律方法

1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).

2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

考点二，面面垂直的判定与性质

【规律方法】　1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.

2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

考点三　平行与垂直的综合问题

角度1　多面体中平行与垂直关系的证明

【规律方法】　1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.

角度2　平行与垂直关系中的探索性问题

【规律方法】　1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.

2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

角度3　空间位置关系与几何体的度量计算

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