初三数学投影题（中考数学中极少出现的投影问题）

大家好，这是一道中考数学比较罕见的投影问题，而且是一道选择压轴题，来自江苏中考。投影是九年级最后一章的内容，由于这类问题很少出现在中考中，而且一旦出现，多数是送分的基础题，所以课堂上一般很少深入探究。冷不丁出现这么一道有一定难度的题目，恐怕考生们都会有点无所适从吧。所以平时我们更要多进行各类题型的训练，这样才能有备无患，在考试中轻松应对这类问题。题目是这样的：

如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是( )

其实这道题也可以很简单，因为A和C其实是一个道理的，A可以C也可以，同样的，C可以A也可以，而这是一道单选题，所以A和C都可以排除。另外直观想象，就是直觉应该会告诉你，B选项也是不正确的，这样就可以秒得答案是D了。 不过这种方法略带蒙的性质，考试时可以考虑使用，但不如有知识做后盾的方法准确。你也不能保证每一道题都有蒙的方法。“蒙”也是一种技巧，它也要有知识做支撑的。

投影分成两类，一类是平行光形成的平行投影，一类是点光源形成的中心投影。九年级重点学习的是平行投影中的正投影，即平行光线垂直于投影面所形成的投影。这道题不按套路出牌，是一道关于中心投影的问题。因此对很多考生来说，并没有现有的定理可以应用。那该怎么办呢？我们只好当场进行探究了。因此这道题非常考学生的探究能力。

题目说纸板的一条对角线垂直于投影面（即地面），那么我们就把这条对角线画出来，而且让对角线的一个端点在投影面上，这样可以减少很多干扰因素。这条对角线命名为线段AB，点O是它的中点。根据光的直线传播性质可以确定点A和点O在投影面上的投影位置。虽然光线无法透过O点，但它的投影却是的的确确存在的。点B的投影就是点B本身。

现在观察对角线的投影，不难发现，OA的投影O'A'要比OB的投影O'B'长很多。而它们本体却是相等的。在投影面上画出另一条对角线，并且把整个投影的大概轮廓画出来。

现在应该可以很直观地看出，答案就是D了吧。

那么题目中关于“灯与这条对角线所确定的平面垂直于纸板”的条件，到底有什么用呢？其实它确定了投影的轴对称性。否则与灯异侧的投影就会相对变大，变成一个不对称的图形。

这里我们还可以归纳出一个定理。关于物体的高度与中心投影形成的影长的关系。有一些地方说，中心投影中，物体的高与影长成正比。老黄觉得并没有严格意义上的正比关系。它反而有点像加速运动的关系，即物体越高，影长比例越大。AB比OB高一倍，但AB的影长比OB的影长明显就要大很多。当然，这是在点光源在物体上方时的规律，如果点光源在物体下方，那么关系就会反过来了。至于比例到底是多少，这与点光源的位置是有关的。