使用切线不等式的条件（切线和不等式之间的关系）

注意：下面所说的所有的不等式在大题中都得给出严格的证明，不可以写“由图得”、“易证”等。

一.与函数y=ex切线有关的常见不等式：ex≥x 1,ex≥ex,其实第一个可以写成ex-1≥(x-1) 1即ex-1≥x，也就是第二个不等式，所以本质上这二者相同，只不过从下面的几何意义看是不同点处的切线。

ex≥x 1还可以变形为e-x≥-x 1，所以可得当x>1时ex>1/(-x 1);当x<1时ex≤1/(-x 1)，如下图：

切线放缩的本质就是局部的近似，我们可以发现上图在x=0附近的近似效果就比直线好多了。

将ex≥ex中的x换成x/e，然后两边同时e次方，可以得到ex≥xe，如果给你这个不等式，你能否想到通过换元转化为ex和x的关系呢？

仍然研究ex≥x 1，构造函数f(x)=ex-x-1，可得f(x)≥f(0)=0，f(x)的一个原函数(导函数为f(x)的函数)为g(x)=ex-x2/2-x，显然g(x)为增函数，且g(0)=1，那么修改一下，令h(x)=ex-x2/2-x-1，那么可得当x>0时有ex>x2/2 x 1;当x<0时有ex<x2/2 x 1，如下图：

大家可以发现这个近似的效果就更好了，依照上面的我们可以进一步的到一个函数y=x3/6 x2/2 x 1，图像如下：

上面的拟合就更好了，这么无限的去拟合下去，就得到了大学大家会学到的一个知识，叫泰勒展开式，它能把一个指数函数用多项式函数来拟合，真是太让人欢乐了，所以简称泰勒。

大家没必要去记这些复杂的，但是如果出现，你得知道可能需要二次求导甚至三次求导才能做出来。比如万一让你证明ex≥x3/6 x2/2 x 1，你就得三次求导，当然一般不会三次求导，但是二次求导还是很常见的。

二.同理，对于对数函数y=lnx来说，也有相似的一些结论：lnx≤x-1,lnx≤x/e。

由y=ex和y=lnx互为反函数，所以这两个不等式和y=ex上述的不等式本质也是相同的，如下图。另外lnx≤x/e转化为指数式可得到上面的ex≥xe，所以给了你ex≥xe你是否会想到两边取对数构造对数式呢？

lnx≤x-1还可以变形为ln(1/x)≤1/x-1，所以可得lnx≥1-1/x，如下图：

在高考题中，下列不等式也是经常出现的，

ln(1 x)≤x，如图：

ln(x 1)≥-x2/2 x:

x≥sinx(x≥0):

cosx≥-x2/2 1: