圆周率收敛公式（圆周率与自然对数）

圆周率π

圆周率的几何意义大家都非常清楚，就是圆的周长和直径的比值。它的数值大家也熟悉的不要不要的，一个不三不四的数，甚至还有不少人举行圆周率的背诵比赛。即使说起圆周率的数值是怎么计算的，大部分人也知道基本原理：割圆法。就是用一系列越来越接近圆周的多边形来逐步逼近圆周长，从而得到和直径的比值，祖冲之就是这么计算的。可是请大家看看下面的这个割圆法步骤，它得到的圆周率是4。

先画出一个圆和从它外面紧紧包围它的外接正方形。显然这个正方形的周长和圆直径的比是4。然后找到圆的四个分点（外接正方形顶点和圆心连线与圆的交点），把外接正方形向里折，通过四个分点。这个时候新的多边形包围着圆，而且和圆的外形更加接近，不过它的周长明显等于原来正方形的周长，所以这个时候比例还是4。不断重复这个过程，折叠后的多边形会越来越接近圆周，但是它的周长和直径的比例永远是4，照这个道理，圆周率的结果应该是4，怎么会是3点多呢？

这种所谓的割圆法的问题出在，这个多边形序列的周长并没有逐步接近圆的周长，我们看起来感觉越来越趋向一致的其实是面积，而不是周长，所以这样计算是有问题的。

在数学上，真正计算π当然也不会用这个方法，因为不好操作。人们使用计算机计算圆周率一般是用级数公式。比如16世纪莱布尼兹发现的公式：

π/4 = 1 - 1/3 1/5 - 1/7 1/9 - …

可以很方便的实现手工计算或者编写计算程序。这类公式称为展开式，其基本思想也是通过一步步逼近来得到某个数值，从这个意义上来说展开式和割圆法是一样的。

但是使用不同的展开计算公式逼近π的真实值的效率是不同的，在数学上我们称为收敛速度。例如虽然不同的公式最后都趋近于π的真实值，但是有些公式，计算五六步后的结果就和真实数值相差很小了，而另外的公式可能需要计算数十步才能达到同样的精度。所以我们一般会选择那些更有效率的公式，也就是收敛速度快的公式。

例如π的高斯公式，虽然里面含有三个反正切函数的计算和相加，但是它的收敛速度非常非常的快，因此如果要计算很多位数的圆周率值时，用高斯公式就比莱布尼兹公式更加实际。

目前我们用更新更有效率的公式，已经把π算到小数点后60万亿位。而实际上在真正的科学研究中，完全不需要这么多的位数。以计算宇宙空间尺度模型为例，如果使用小数点后40位的数字，整个宇宙计算结果的理论误差也不超过一个原子的大小。那么研究人员为什么还要拼命算这么多位呢？其实主要是为了研究和验证π的很多特殊的数论性质，这就是我们下面要说的π的与众不同之处。

圆周率表

我们先从一个“宇宙刻痕”的理想实验说起。今天我们进入了大数据时代，很容易理解，声音、图像、文字等一切信息都可以转换为数据并被记录下来，所以海量的信息正在以空前速度爆炸成长。为了承载这些数据，公司、个人、政府使用了无数介质来储存。可以理解，数据量越增大，我们就需要越多的存储设备。但是有个牛人提出了一个大胆的设想，他说既然所有的信息本质上都是一串数据，那么如果我们把宇宙所有的信息数据串按照某种排序规则前后衔接排列在一起，就构成了一个包含整个宇宙全部信息的总数据串。然后在这个总数据串前面加上0和一个小数点，这个总数据串就变成了一个介于0到1之间的小数，我们称为宇宙信息常数。现在拿出一根不变形的金属棒，把它的长度看做1，那么这根棒上一定有一个位置，刚好对应宇宙信息常数，我们只要在这个位置划下一道划痕，那么宇宙全部的信息就记录下来了。根本不需要那么多的硬盘和光盘。这个划痕就是“宇宙刻痕”。

猛地一听，这个说法很有道理。明明可以很简单的用一道儿就解决的问题，人们为什么需要搞这么多的存储设备呢。当然，因为这是一个理想实验，所以你千万不要听完后去纠结找什么样的材质来做金属棒，以及用什么方法去找位置刻划痕，我们要分析的是原理。

宇宙中所有的信息都对应某一个数据段，换句话说就是对应某个数字，这是正确的；这些对应的数字能共同组成一个新的数字，当然也正确。那么我们把这个说法进一步拓展，不仅是用这些宇宙信息对应的数字来组成新数字，而是用从0开始的全体数字共同组成一个新的数字，是不是可行呢？显然可行，因为我们很容易构造出这样的例子。

比如下面的这个数字：02 003 0004 00005000006…

它是用全体数字先后排列在一起，中间用1个0，2个0，3个0等等间隔开。所以大家都明白这个规律延续下去，任何的数字串都肯定在它的某个位置处会出现。类似这样的数字，我们还有很多种构造方法。这样的数据，任意整数都能在它的序列中被发现的数据，就称为合取数。宇宙刻痕就是要找一个合取数。那么π是不是合取数呢？

在影视剧《疑犯追踪》中，“宅总”哈罗德·芬奇说了这样一段话：“圆周长与直径之比，无穷无尽，永不重复。在这串数字中，包含每种可能的组合。你的生日、储物柜密码、社保号码，都在其中某处。如果把这些数字转换为字母，就能得到所有的单词，无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节，你心上人的名字，你一辈子从始至终的故事，我们做过或说过的每件事，宇宙中所有无限的可能，都在这个简单的圆中。”这段话非常令观众印象深刻，从数学上来解释，芬奇实际上是在说π是一个合取数。

然而更严格的说法是π“极有可能”是一个合取数，而不能肯定的说它就是合取数，因为π的合取性还没有被证明。但是因为我们已经计算出了60万亿位的π的数值，我们可以用实测的方法验证，任意输入一段有限位数的数字序列，基本上都能在π当中的某个位置处找到。所以，我个人相信，任何的关于某个人人生的信息都一定藏在π的某个位置。

如果大家想尝试找找自己暗恋女孩的生日，或者自己的银行密码藏在π值的什么地方，可以在下面的网址当中去检索：

angio/pi/piquery

该数据库里面储存了2亿位的π值。可以告诉大家目前统计的一些结果：如果你是想查找生日的话，前60872位以内已经包含了全部的生日组合；如果你想查找一个8位数的序列，你查到的概率大约在85%以上。

另外，π不仅是含有全体整数的合取数，而且，相同位数的整数出现的比例看起来也是均匀的。具体来说，π当中含有的1,2,3,4,5,6,7,8,9,0几乎都是相等数量的，两位数10,11,12,…,99也几乎都相等，三位数，四位数都是如此。这称为正规性。所以π很可能是一个正规数，不过这点同样也没有被证明，只能说很可能是。

当然，我们最后还要回答一下关于合取数与宇宙全体信息的关系，也就是回答一席宇宙刻痕问题。合取数只是含有全部整数序列的无理数，但是它的这些信息和宇宙信息相对应时缺少了关键的结构，简单的可以理解为顺序。而结构本身也是一种重要的信息，所以宇宙刻痕其实是不存在的，合取数也不能记录全部的信息。

自然底e

说了这么多π的性质，再来介绍一下e。和π比起来，可能文科生对e略感陌生，理科生当然都知道e，不过未必知道e的本质含义。我们先从一个故事说起。

假定你到银行存款存1块钱，银行同意付给你100%的年利率。那么当然到了一年后，你手里的钱就增长为2块。用公式来写就是：（1 100%）；现在如果银行同意按照复利计算，也就是把一年期的年利率拆成两个半年期利率，50%，中间计算一期的复利，那么你到年底手里的钱为：（1 50%）×（1 50%），也就是2.25元；再进一步，如果银行按照季度计算复利，那么你到年底手里的钱为：（1 25%）×（1 25%）×（1 25%）×（1 25%），大约为2.44元。可以看到分的越细，你得到的总收入越多。如果把这个复利计算过程继续细分下去，按天算你的钱数为：

如果再继续细分，按小时，按分，按秒计算复利，把计算过程推向无穷细分，可以发现最后获利有一个极限值。该值就是e，大约为2.7182818。

所以说e的本质含义就是累积增长的极限。这个特点有非常多的用处，比如随便给你一个自然数，请你把它随意分解成若干个数之和，并把这些数乘在一起，问哪种分解方法分出来的数得到的乘积最大。答案就是尽量分成这个数除以e以后得到的份数，并且每份的大小尽量接近，这样的乘积就最大。举个例子整数10。10/e 大约等于3.68，所以应该把10分成4份，而每份又要比较接近，所以可分为2,2,3,3，乘积为36。你可以自己去验证，其他的各种分法得到的乘积都超不过这个数。

通过这个例子可以直观的说明，e用来表达数位的时候效率最高，这在日常生活中最直接的应用结果就是计算机采用的二进制。在设计进制时，应该选取效率最高的方法，这样计算和储存的成本都最低，计算机的能耗也最小。理论上最理想的是e进制，不过e不是整数，所以次理想的是最接近e的3进制，其次是2进制，3进制的效率比其他都高，但是如果结合考虑到稳定性和容错程度，二进制就领先了。故此计算机都采用二进制。

由于e是累计增长极限，所以决定了以e为底的指数函数所代表的增长方式最自然，所以称为自然指数函数

这个指数函数有非常多的特性，比如最突出的是对称性。该指数函数在任何位置的增长速率都同于函数值本身，用数学语言来说就是自然指数函数的导数是它本身。而这个特性被延伸到复数域后，可以发现指数函数能够代表旋转，这就和π最终联系在一起，因为π就代表着旋转特性。而具体连接它们的关系式是被称为数学上最优美的欧拉公式：

欧拉

最后说明一下，e和π一样，都很可能是合取数和正规数，不过同样这有待证明。

因为旋转，大量的规律需要π；因为增长，大量的公式含有e。这两个数本来看起来遥不可及，但是因为复数域的推广，指数运算和旋转建立了关系，天才的欧拉发现了优美的“上帝创造的公式”。也许正因为如此，e和π才成为了蕴藏无穷奥秘的合取数。很多物理学家都说过，他们喜欢优美的公式胜过喜欢正确的公式。的确，数学之美正是其魅力所在。最后请大家听一首钢琴曲，它是用π的数值作为简谱谱写的，听听看是不是优美动听。