高中数学三垂线定理每日一题（球面上任意两点间距离的计算）

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第一部分：经纬网部分，考纲和知识点如下：

利用经纬网计算球面上任意两点间的距离

试题引入：

（2005年全国一卷）图2为亚洲两个国家略图。读图回答第7题。

7．据地理坐标判断，甲乙两地距离约为

A．300千米 B．550千米

C．1300千米 D．1550千米

知识讲解：

前面我们讲解了利用经纬网计算同一经线上和同一纬线上任意两点间的距离，那么，如果两点不在同一经线和纬线上，我们应该怎么计算呢？

如果两点不在同一经线或同一纬线上，则可以采用估算法，对，就是估算法，如果你想，也可以叫“蒙”法，这是最快捷的一种方法，但是，即使是估算，也要估算的最接近真实的数值，最为准确。

举个例子：比如A、B两个点的地理坐标分别是（63°N，32°E）和（58°N，130°E），求两点的距离。我们看到两点的纬度差很小，只有5°，且都在60°N附近。而经度差很大，有98°。所以可以忽略纬度差，主求经度差，近似的认为两点在同一纬线60°N上，经度差是98°来计算。这样就把球面上任意两点间的距离转变成了同一纬线的上的距离来计算，难度就降低了很多。

但实际上两点并不在同一纬线上，所以其距离肯定比算出的同一纬线上的数值要大，那怎么办呢？很简单啊，既然知道要大，那在选项中选出一个比计算出的数值较大的数不就可以了吗。

如上题A、B两点间的距离按同一纬线都在60度上的计算结果是：98×110×cos60°=5390。如果4个选项分别是6090、5500、5390、5000，选哪个呢？选一个较大值，当然是5500。这就是估算法。

当然，也可能有的两点是近似于在同一经线上，那就按同一经线上两点间的距离来计算。但无论是把两点近似到同一纬线还是同一经线，一定记住，其实际数值都肯定是大于求出的数值的，在选项中应该选略大一点儿的数。

所以，估算法的步骤是：一、看两点的经度差异大还是纬度差异大。二、按差异大的计算。三、在选项中选一个比算出来的数大点儿的选项。

再来说第二种方法，利用直角三角形的勾股定理来计算，两点不在同一经纬线上，经线和纬线是垂直的，其经度差和纬度差就相当于是两个直角边，实际距离就相当于直角三角形的斜边，具体计算方法见下面试题解析。

试题解析：

首先把图2转化为下图：

利用经纬度计算距离，大部分都是估算，本题有两种计算方法。第一种是把两点当做在同一经线上或同一纬线上，甲乙两点经度间隔比较大，是12度，纬度间隔比较小，是5度，所以可以近似的认为两点是在同一纬线上，由于两点是在30度上下，所以直接利用30度纬度来计算。列式计算：12×110×cos30°≈1320×0.87＝1148.4（千米）。这是同一纬线上两点间的距离，实际距离肯定大于这一距离，选一个较大的，不选大的太多的，所以在四个选项中选C选项。

第二种办法是利用勾股定理来做，如上图。求出甲乙′的距离，110×5＝550（千米）；再求出乙′乙的距离12×110×cos30°≈1320×0.87＝1148.4（千米）。然后根据勾股定理直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方，550的平方 1148.4的平方＝302500 1318822.56＝1621322.56。把1621322.56开方后约等于1273.5，最接近C选项，故选C。

两种方法显然是第一种方法更简单一些，第二种方法的平方和开方就能把人整晕，所以球面上两点间距离的计算，学会用第一种方法来估算是很重要的一项技能。

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老丁 ∣一个教地理的小学生

2019年8月5日