什么时候正弦值是正的（正弦函数一）

读初中的时候，有一个问题一直困扰着我，那就是为什么“正弦”叫做“正弦”呢？我们都知道“正弦”指的是：在RT△ABC中，对边与斜边的比值，即sinA=a/c. 但这与“弦”有什么关系呢？，下面我们就来说一说关于什么时候正弦值是正的?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

什么时候正弦值是正的

读初中的时候，有一个问题一直困扰着我，那就是为什么“正弦”叫做“正弦”呢？我们都知道“正弦”指的是：在RT△ABC中，对边与斜边的比值，即sinA=a/c. 但这与“弦”有什么关系呢？

到了高中，角度从360°推广到了任意角，三角函数的范围也因此拓展了，想了解这个问题变得更加困难。直到大学的某一天，我在图书馆翻阅数学史书籍时，偶然间找到了答案。这一切让我们从古希腊的两位著名数学家开始。

喜帕恰斯Hipparchus是公元前2世纪古希腊著名数学家，托勒密Ptolemy则生活在公元2世纪左右的埃及，尽管生存年份跨度近3个世纪，但我们不能分开来描述他们，因为我们所知道的关于Hipparchus的成就与生平，主要来自于Ptolemy的著作，反过来，Ptolemy的很多工作都是在Hipparchus工作上的继承与创新。

Ptolemy

一个简单的例子是，地理学上绘制地图所常用的“经度与纬度”，首先由Hipparchus提出并倡导用于确定地球某点的位置，而Ptolemy通过《地理学指南》一书，充分地解释了怎样从数学上确定它们.

Ptolemy的地图

Ptolemy的工作的确有继承，但更多的是创新。Ptolemy最主要的著作是《天文学大成》（Almagest），此书在天文学上地位是亘古未有的，在中世纪，如果你要学习“天文学”，Almagest必然会是的枕边书，这部天文学上百科全书式的著作要直到17世纪“日心说”的兴起才开始受到“冷落”。

哥白尼

Almagest继承了古希腊、尤其是Hipparchus的成就，对当时遇到的问题：如描述天体运行的“地心说”、太阳及月球相关问题、恒星的位置以及三角学计算等作了详细描述。其中一项工作——“弦表”——直接来源于Hipparchus。

Almagest中的“弦表”

上图是经由Ptolemy改进后的Hipparchus的弦表，要理解为什么“正弦”之所以为“弦”，我们简单介绍一下这张表中数据的意思。

“弦表”左边三列为希腊文，右边三列为译文，Ptolemy在计算中取周角为360°，直径为120。由第八行知，当Arcs=4°时，chords在60进制下等于4;11.16，转换为10进制，即4 11/60 16/3600≈4.187778. 换句话说，4°弧所对应的弦长值约为4.187778，我们用符号ch( 4°)≈4.187778表示。

没错，ch(4°)就是sin(2°)的“前身”，“弦表”中的“正弦值”指的就是4°弧对应的弦长|BC|.其实不止在Ptolemy时代，往后的印度、阿拉伯时期，甚至是到了18世纪，“正弦”都是指的“几何线段”长。其中，比较有影响力的是阿耶波多（Āryabhaṭa）使用的“半弦”、Wafa使用“半弦长”与半径的比值、以及欧拉使用的单位圆中的“正弦线”。

而我们现在初中教材中的“正弦函数”的建立在直角三角形上的定义，要直到16世纪的奥地利数学家雷提库斯Rhaeticus给出。高中教材中的“终边定义法”则更是在19世纪开始成型，最终在20世纪普及的。

现在不用我揭晓答案，大家也应该知道了，“正弦”之所以叫做“正弦”，并非一时的定义，而是历史发展的结果。在相当长的一段时间里，正弦指的是“圆”中弧所对的“弦长”、“半弦长”。 但是随着“正弦函数”定义的一步步“进化”，它的原有的“弦长”定义也逐步的退出历史舞台。这也是让我们的疑惑迟迟不能解开的原因。

最后表达一下我对学习数学的一些看法。作为一名高中数学教师，我能深刻的体会到很多学生对于数学的功利性态度。基于考试的原因，他们不得不学，但是数学中太多的公式、定理、概念、应用，让学生应接不暇，毅力和领悟力好的、数学自然学好了，但是更多的学生，对数学是有恐惧感的，学好数学也就变得很困难了。

而且即使是数学成绩好的学生，因为兴趣而学习数学的也很少见。数学就真的这么难学?回答这个问题不容易，但是可以肯定的是，尽管抽象性是数学的特点，公式、定理、概念是理解数学的基础，但是数学不仅仅只是它们。数学也应该有它简单、朴素、有趣的一面。

教材上的“数学”是高度提炼后的数学，学生初学就接受的是“完美化”后的概念、定理等，跳跃感比较严重，所以学起来困难。但是如果结合数学的历史发展，从数学的发生出发，经历并克服数学家们遇到的同样问题，顺便了解数学家们的趣事，自然而然学习的兴趣起来了、学习的难关也在这一系列的过程中消化了。