中考数学圆内接四边形压轴题（特殊四边形中动点存在性问题）

特殊四边形的几何动点问题，很多困难源于问题中的可动点，常见的动点四边形有平行四边形、矩形、菱形等问题，其中尤其是动点的存在性问题对很多学生来说感觉很困惑。实际上，求解特殊四边形的动点问题，关键是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，分类画出符合条件的图形进行讨论，就能找到解决问题的途径，有效避免思维混乱。

结合历年全国各地中考的实例，动态几何问题一般都会有存在性问题，所谓存在性问题就是根据已知的条件，探索制定适合某个问题的结论的数值、点、直线或其图形是否存在的题目而存在性问题一般从以下6个方面展开探讨：

1、等腰（边）三角形存在问题;

2、直角三角形存在问题；

3、平行四边形存在问题；

4、矩形、菱形、正方形存在问题；

5、全等、相似三角形存在问题；

6、其它存在问题。

在中考中特殊三角形四边形的存在性问题是重点，其解题思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算、推理。若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论。它主要考查考生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，由于这类题目的综合性极强。因此中考常以压轴题出现。

A.最新考题剖析

1．（2019春•吴中区期中）如图，将一三角板放在边长为4cm的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．设点P从A向C运动的速度为2cm/s，运动时间为x秒．

探究：

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想：

（2）当点Q在边CD上且x＝1s时，四边形PBCQ的面积是_____ ；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，试说明理由．

【解析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

探究：（1）过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，由正方形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，∠BAC＝ACB＝45°，可证四边形ADNM，四边形BMNC都是矩形，可得BM＝NC，AM＝DN，MN＝AD＝BC，由"ASA"可证Rt△MBP≌Rt△NPQ，可得PQ＝PB；

（2）由四边形PBCQ的面积＝S四边形BMNC﹣2S△BPM，分别表示出△PBM与四边形BMNC的面积就可求解，答案为：（18﹣8√2）cm2；

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．

①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，∴PQ＝QC，此时，x＝0

②如图，当点Q在DC的延长线上，且CP＝CQ时，

∵CP＝CQ，∠ACD＝45°，∴∠PQN＝∠CPQ＝22.5°，∴∠QPN＝∠APB＝67.5°，

∵∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠APB＝67.5°＝∠APB，∴AP＝AB＝4cm

∴x＝4/2＝2s,综上所述：x＝0s或2s

2．（2019•青岛一模）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，动点M，N分别从点D，B同时出发，都以1cm/s的速度运动．点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点O，连接MP．已知动点运动了ts（0＜t＜3）．

（1）当t为多少时，PM∥AB？

（2）若四边形CDMP的面积为S，试求S与t的函数关系式．

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP面积与四边形ABCD面积比为3：8？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）在点M，N运动过程中，△MPA能否成为一个等腰三角形？若能，求出所有可能的t值；若不能，试说明理由．

【解析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用等知识点．

（1）根据已知条件得到PM与PN共直线，求得MN∥AB，列方程即可得到t＝3/2；

3.（2019•江都区一模）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，点F是点E关于点C的对称点，过点F作对角线BD的平行线，交DC的延长线于点H，连接HE并延长与矩形的边AB、对角线BD于点N、M．

（1）试判定△BME的形状，并说明理由．

（2）若BE＝2EC，连接DE，当△MED为直角三角形时，求AB：BC的值．

【解析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及三角函数，注意分类讨论思想上的运用．

（1）证明∠MEB＝∠MBE，从而MB＝ME，所以△MBE是等腰三角形；

（2）①当∠DME＝90°时，如图1，

∵MB＝ME，即∠MEB＝∠MBE，∴∠DBC＝45°．

∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝DC．∴AB：BC＝DC：BC＝1；

②当∠DEM＝90°时，如图2，过点M作MG⊥BC于G点，

∵∠MEB ∠DEC＝90°，∠DEC ∠EDC＝90°，∠EDC＝∠MEB＝∠MBE．

由（1）得MB＝ME，又MG⊥BC，∴BE＝2GE＝2GB，

又BE＝2EC，∴EG＝EC，则△MGE≌△HCE（ASA），∴ME＝HE．

又DE⊥MH，∴∠MDE＝∠EDC．∴∠DBE＝∠EDC＝∠BDE＝30°．

∴AB：BC＝DC：BC＝tan∠DBC＝tan30°＝√3/3．

综上所述AB：BC＝1或√3/3．

4．（2019春•杭州期中）在平行四边ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C运动（不与A，C重合），速度为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速度由B向CB延长线方向运动（不与B重合），连结PQ交AB于E．

（1）如图1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求点P运动几秒后，∠BQE＝30°；

（2）如图2，在（1）的条件下，作PF⊥AB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；

（3）如图3，当BC≠AB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【解析】（1）设点P运动t秒后，∠BQE＝30°，则AP＝QB＝t，由∠ABC＝60°，BC＝AB，AB＝BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，因为∠BQE＝30°，∠ACB＝60°，所以∠QPC＝90°，QC＝2PC，列出关于t的方程解出t的值为2秒；

（2）过点P作PG∥BC，与AB交于点G，通过证明△PEG≌△QEB，得到BE＝GE，再由△APG是等边三角形得到AF＝GF，∴EF＝1/2AB＝3；

（3）如图3，设PQ交AB于E，过点P作PG∥BC，与AB交于点G，作CH⊥AB于点H．当点P，Q关于点E成中心对称时，QE＝PE，

∴易证△PEG≌△QEB（ASA），∴GP＝QB，

∵QB＝AP，∴GP＝AP，

∵GP∥BC，∴CA＝CB＝a

∵平行四边形的面积是24cm2，AB＝6，

∴AH＝BH＝3，CH＝24÷6＝4，∴由勾股定理可求得AC＝BC＝5即a＝5．

故在运动中存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，此时a的值为5．

5．（2019•临海市一模）定义：如图1，点M，N在线段AB上，若以线段AM，MN，NB为边恰好能组成一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点．

（1）如图1，M，N为线段AB的勾股分割点，且AM＝4，MN＝3，则NB＝______ ；

（2）如图2，在▱ABCD中，CD＝21，E为BC中点，F为CD边上一动点，AE，AF分别交BD于点M，N，当点M，N为线段BD的勾股分割点时，求FD的长；

（3）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，延长BA到点M，延长AB到点N，使点A，B恰好是线段MN的勾股分割点（AB＞AM≥BN），过点M，N分别作AC，BC的平行线交于点P．

①PC的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

②直接写出△PMN面积的最大值．

【解析】（1）①当AM为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出 BN＝√7或 5；．

（2）如图2，设BM＝x，证明△AMD∽△EMB，得DM＝2x，设DN＝a，则MN＝2x﹣a，点M，N为线段BD的勾股分割点时，存在三种情况：根据勾股分割点的定义列方程可得DF的长为7或15；

（3）①PC的长度是定值2，理由是：如图中，连接PA、PN，将△MPA绕点P逆时针旋转90°得△PNF，将△PAC绕点P逆时针旋转90°得△PFE．则∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝2，∴AB＝2√2，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AC∥PM，BC∥PN，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴EF∥BN，∴EF∥BN∥BC，

∵AC＝BC＝EF，∴四边形EFBC是平行四边形，∴EC＝BF，

∵∠ANM＝∠PNF＝45°，∴∠BNF＝90°，∴BF2＝BN2 FN2，

∵点A，B恰好是线段MN的勾股分割点（AB＞AM≥BN），

6．（2019•市北区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6cm，BD＝8cm点P从点B出发沿BA方向匀速运动，速度是1cm/s，点Q从点D出发沿DB方向匀速运动，速度是2cm/s，QE∥AB，与BC交于点E，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t≤4）．

（1）当PQ⊥AB于P时，求t的值；

（2）设四边形BPQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使BQ平分∠PQE？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

【解析】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

（1）先利用勾股定理求出AB＝5，再用同角的余角的余弦函数建立方程求解即可得出t＝32/13；

B.反思与总结

C.最新考题精炼

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