加上合适的数学符号使等式成立（形式主义把数学化为关于有限符号排列的操作）

以希尔伯特为领袖的形式主义学派，在近代数学中发生了最大的影响。希尔伯特是通晓各个数学领域，并且关心数学在物理中的应用的数学大师。他晚年转向于数学基础的研究，提出了被称为“形式主义”的观点。

希尔伯特

通常认为，形式主义是支持柏拉图主义的。目的是通过形式化为柏拉图主义数学建立稳固可靠的基础。形式主义者主张使用符号推演代替语言，而符号的使用方法要按照约定的规则。但是，形式主义派与前面提到的唯名论、约定论在哲学观点上并不一样。对于形式主义者，数学是有其实质内容的，而且数学对象是可以客观地存在的，形式化的方法不过是使数学推理严格化的手段。

按照形式主义的要求，首先应当有一个符号表，其中只有有限个符号。这些符号是准备用来代替我们日常讨论数学问题的语言的。就像用字组成句子一样，符号可以组成所谓的公式，有些公式可能没什么意义，有些公式可能有意义。有意义的公式叫“合式公式”。当然，什么叫“合式公式”，都是要用具体的不含糊的规则来说明的。

合式公式相当于命题。从合式公式中选择一些基本的公式，相当于公理。为了从“公理”推演出别的“公式”定理，应当有一些推理规则。这些推理规则也是一一明确列出的：即什么样的符号串可以换成什么样的符号串。于是，数学推理就变成完全确定了规则的符号操作了。

数学符号

为了能推出现有的丰富的数学知识，基本公式——公理的选择应当遵循我们的基本数学概念，推理规则的建立应当符合常用的逻辑法则。这样运用操作规则从基本公式推出别的公式，就叫做证明。对这套符号系统的研究，叫元数学或证明论。在进行符号操作的过程中，数学家思想上认为这些符号是有确切数学含义的。例如，某个符号代表某个无穷集之类，由你去想。但这样理解丝毫不能影响具体的推演过程，推演过程完全与你的理解无关。不过，数学家的理解有助于提高推演的技巧。

当然，对这种形式系统的研究，只能用日常的，非形式的语言了。直觉主义派不是主张构造性数学吗？形式系统只用有限个符号组合来组合去，不涉及无穷过程，确实是构造性数学。但是，用这种形式系统却确实能描述出非构造性数学的内容。比如无穷吧，无穷集合是非构造的，但我们描述无穷集合性质用的语言却是有穷个符号的排列。于是，无穷可以用有穷表示，用有穷个符号之间的推演来描述。直觉主义派反对使用无穷集等概念，却没有理由否定有穷个符号的推演。但从事推演的数学家，头脑里又可以想着无穷。可以说，形式主义的方法挡住了直觉主义向非构造性数学的攻击。

无穷

希尔伯特建立了元数学——形式系统的数学之后，提出了两大目标：既然数学命题可以用形式系统的“合式公式”来表示，那么，是不是所有的真命题都能在形式系统之内证明呢？也就是说，应用形式的推演规则，能不能推出所有的真命题呢？这里，是承认排中律的。一个命题和它的否命题总有一个是真的。如果推不出该命题，就应当能推出它的否命题来。这就叫做能推出所有的真命题。

如果能推出所有的真命题，就说这个系统是完全的。另一方面，形式系统会不会推出矛盾呢？会不会既能推出某一定理，又能推出这个定理的否定呢？数学家当然希望不会推出矛盾。如果推不出矛盾，就说这个形式系统是协调的。

希尔伯特的两大目标，就是证明形式数学系统的完全性与协调性。遗憾的是：进一步的研究表明，这两个目标都是不可能达到的。希尔伯特的两个目标虽然落空，但将数学形式化的基本思想作为一种原则几乎被广泛接受。并且，对元数学——证明论的研究发展成为数学基础领域的重要部分。

数学证明

对数的本质的研究，对数学对象本质的研究，促进了数学基础和数学哲学的大发展。但对“什么是数？”这个问题，对“数学的真理意味着什么？”这个问题，依然没有一致地回答。进入20世纪中叶以来，逻辑主义、直觉主义、形式主义之间的争论渐渐平息了。数学家们发现，无论哪一派的主张，都不可能令人满意地，一劳永逸地解决数学基础的问题。不同观点的数学家，沿着自己选定的道路前进，发现大家不约而同地到达同一个地方：数学研究的对象是一些关系与形式，这些关系与形式可以用有限符号来表达，它又能包含着无限丰富的内容。丰富的数学内容无法简单地归结为逻辑，也不能仅视为人的直觉的创造物。它的正确性更不可能用符号的推演来最终证明，各派最后都导致对“算法”的研究，在这一研究基础上出现了计算机的理论。

至于“什么是数？什么是数学的对象？”这样的问题，恩格斯曾作过概括地回答：纯数学的对象，是现实世界的空间形式与数量关系。而且指出“为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关紧要的东西放在一边......”。今天，数学的研究范围已远远超过恩格斯所处的时代了。数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界的任何形式和关系——只要这些关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，所谓化为数学模型。不但如此，数学还研究在逻辑上可能的形式与关系——尽管它们暂时还没有被人们在现实世界发现，也许将来也不会发现。

因此，可以说数学的研究对象是抽象的形式与关系。抓住这一本质加以痛快淋漓地发挥的是20世纪的布尔巴基学派。我们将在另一章中专门谈他们的工作。