什么是正态分布统计学（统计学重要支柱）

今天发扬一下科学精神，我们聊一聊正态分布。

1801年1月，意大利天文学家朱塞普-皮亚齐在天空中发现了一颗新星，但这哥们在夜空中出现6个星期、扫过8度角之后，就在太阳光下彻底消失了，再也观测不到。遗憾的是，当时皮亚齐留下的观测数据极为有限，所以也计算不出来新星的轨道，天文学家甚至无法确定这颗新星到底是行星还是彗星。不过天文学家虽然搞不定，但有一位数学家却对这个问题产生了兴趣，他就是数学王子——高斯。为了重新发现这颗新星，高斯直接创立了一种全新的星体轨道计算方法，短短一个小时之内，就计算出了星体的轨道，并预言了它在夜空中出现的时间和位置。算的对不对呢？1801年12月31日夜晚，德国天文学家奥伯斯在高斯预言的时间里，把望远镜对准了预言的位置，果不其然，这颗新星重新回到了人类视野，它就是人类发现的第一颗矮行星——谷神星。

皮亚齐

谷神星

如果说高斯之前只是在数学界如雷贯耳的话，那么从此开始，高斯在整个欧洲名声大震。而他所用到的数据分析方法，正是正态分布。事实上，高斯并不是发现正态分布的第一人，但正态分布无疑是因为高斯才被世人所知，于是正态分布也被称为“高斯分布”。当然了对于高斯这种数学天才来说，他的发现不胜枚举，一个正态分布算不上什么大事儿，但后人显然不这么认为，因为正态分布确实成为了一个强有力的数学工具，于是我们就发现，在10马克高斯头像的旁边，印的正是正态分布，而不是他引以为傲的正十七边形。那么正态分布究竟是个什么东西呢？不用慌，它其实非常简单。

10马克

其实客观地说，正态分布这个名字起的不是很好，让人有一种敬而远之的感觉，当然了这是翻译的问题，事实上，它的英文非常简单，就叫normal distribution，你听听咱这个苏格兰调情发音，直接翻译过来就是正常的分布，所以台湾省的翻译就比较直观了，人家就叫“常态分布”。也就是说，除了正态分布以外，其他分布都是特殊的，只有正态分布才是一般的、正常的和普遍的，既然如此，它的重要性就可见一斑了。

从形态上看，正态分布就十分简单，无非就是一条对称的钟形曲线，中间很高、两边下降，就像一个鼓起来的山包，或是鼓起来的其他东西，你懂的。横坐标代表随机变量的取值范围，越往右，随机变量的值就越大，越往左，随机变量的值就越小。而纵坐标则代表概率的大小，最下面的概率是0，越往上概率就越大。如此一来，在曲线上随便找一点，确定它的横坐标与纵坐标，我们就可以知道这个值出现的概率是多少。由于这条曲线是左右对称的，所以中间的最高点，就代表平均值出现的概率最大，数据最多，而两边呈陡峭下降趋势，就意味着越是靠近平均值，数据就越多，反之，数据就越少。可以说对于很多数值的统计，都呈现为典型的正态分布，比如说人的身高、体重、智商、考试分数、股票基金收益、公司收入，还比如说节目的收看数量，都符合正态分布，像是咱2049每期节目的播放量，估计就是在这条钟形曲线的最左边那部分，那些富有科学精神的，自然就在最右边，我们知道，左代表无产阶级，右代表资产阶级，他们是不具备革命性的。当然了这是我胡扯的。

正态分布曲线

好了接下来我们再进一步整点高端的。整体来看，正态分布有三大数学性质。

第一个性质是：均值就是期望值。也就是说，正态分布曲线中间最高点的横坐标，不仅代表着随机变量的平均值，而且也代表着它的数学期望，这一点已经得到了数学上的严格证明，至于是怎么证明的，打死我也不告诉你。我们知道，数学期望代表着长期价值，而现在平均是又是数学期望，所以在正态分布中，平均值就代表着随机事件的价值。

比如说一个小妹妹和我网聊，在没有奔现之前，她是不知道我身高几何的，于是她对我身高的期望值就是174cm，因为174cm正是辽宁省男性的平均身高。还比如说我们常用高考的平均分，来衡量一所高中的教学质量，为什么，原因也在于平均值就代表期望值，而期望值正代表着随机事件的长期价值，一个学校平均分总是600，那这个学校肯定不会差，但如果它只告诉你最高分，对平均分避而不谈，这就很有问题了。当然了还需要注意的是，只有在正态分布中，平均值才具有这样的意义，如果不是正态分布，平均值基本就不能说明什么问题了，比如说现在10个人组成一个团伙，我、黄博士、潘博士、士、再加5个要饭的和一个比尔-盖茨，这个群体的个人资产，显然不呈正态分布，那我告诉你，我们的平均资产是50亿美元，就没有任何意义。

正态分布的第二个性质是：极端值非常少。也就是说，大多数数据都集中在平均值附近，比如说还是刚才网聊那个例子，小妹妹对我身高的期望是174cm，那么在174cm上下浮动正是我最有可能的身高。同时也正是因为极端值非常少，所以极端值对平均值的影响也非常小，也就是说，正态分布非常稳定，不管姚明和潘长江是不是辽宁人，辽宁男人174cm的平均身高并不会产生什么变化，除非你像珠穆朗玛一样高，但这显然是不可能的，这还叫人么？这么高只能是科普人。

正态分布的第三个特征是：标准差或是说方差决定形状。可以发现，正态分布虽然都是钟形曲线，但形状是各不相同的，有的会矮胖一些，有的会高瘦一些，而造成这种差异的原因，正在于标准差的不同。高中数学告诉我们，标准差或是方差，可以描述随机变量的波动情况，标准差越大，数据波动越剧烈，反之，数据波动就越平缓。具体到正态分布中也一样，标准差越大，数据越是分散，波动越是剧烈，钟形曲线看起来就会更加矮胖。而标准差越小，数据就会更加集中，波动不怎么剧烈，钟形曲线就会更加高瘦。当然了这可能与你直观看上去有点出入，不过你仔细想想我想应该可以想明白，如果绞尽脑汁还是想不明白，简单，漂亮小妹妹可以来问我，我手把手教给你，嘴对嘴告诉你，那是一发入魂、终生难忘。

总之通过以上三大特征我们可以发现，平均值决定了正态分布曲线的最高点，平均差或是方差，决定了曲线的弯曲度，两个数据就可以确定曲线的形状，实在是不知道高到哪里去了。

好了一个正态分布我们可以对其进行分析，那么不同的正态分布曲线可不可以进行比较呢？当然是可以的。具体来看就是三种情况，一是方差相同、平均值不同，在这种情况下可以比较好坏，这很简单，比如说两所高中的高考分数，标准差一样，自然是平均分越高，教学质量越高。

第二种情况是平均值相同、方差不同，这种情况可以比较波动，比如有统计显示，男女智商的平均值是差不多的，但在正态分布曲线上，男性智商的曲线要矮胖一些，女性智商的曲线要高瘦一些，这就说明，虽然整体上看，男女智商没有高低之分，但男性智商值显然更加分散，波动比较大，极端数据存在的情况比较多。也就是说，男性智商超群的人要比女性更多，同样的，傻X也是男人更多，比如说我和黄博士，还有那些特别喜欢抬杠和认死理的键盘侠，我看基本都是男性，而在我接触的无数女性中，我就没有发现什么低智商。

第三种情况就是方差和平均值都不同，这就可以比较专业和业余了。比如说我和许海峰比赛射击，人家许海峰肯定是9环、10环、11环来回转，波动十分小，平均值非常高，直观表现就是正态分布曲线非常高瘦。我就完了，一会1环、一会2环，偶尔还能蒙个9环、10环，有时候还能打到裁判，所以我的成绩波动就十分大，同时平均值也非常小，直观表现就是曲线非常矮胖，恨不得平了。

好了最后一个问题，正态分布这玩意究竟有什么用？简单来说就是，它可以为我们提供一个估算个体在整体中位置的便捷方法，像智商、身高、体重、考试成绩等，只要服从正态分布，我们就可以快速得到答案。比如说我表弟今天高考，估分估了560，然后网上就会告诉他预计排名，那么哪些网站是怎么做到的呢？你可能会认为，它一定是收集了所有人的估分数据，然后得出答案，其实根本不用这么麻烦，再说了它也得不到所有人的数据，事实上，它只要得到一部分数据，然后通过平均值和方差构建出一个正态分布模型，就可以大致得出560分在全省的排名。还有一个应用我估计你每天都会遇到，这就是在电脑开机的时候，都会告诉你，啊，你的电脑太快了，打败了全国百分之90几的用户，用到的办法也是正态分布。再见。