几何坐标求线段最值（巧用直线的参数方程求线段乘积的最值）

读者朋友们的问题越来越多，而我的精力十二分的有限.

必然是有所选择，那些下大功夫、用心思考的朋友更可能得到交流的机会.

1

一个会提问的栗子.

昵称为“青海湖”的读者朋友这样问到：

左老师，求助这样一道题.

在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0(x>=0)，OB：2x y=0(x>=0).

过点P（1,0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B.

当|PA|*|PB|取最小值时，求直线AB的方程.

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如果是这种情况，解法简单.

不是坐标轴了，乘积最小值，网上的答案计算很多.

请教左老师，有没有其他解法？

这位读者朋友应该是认真看了《互动的正确姿势》，并且真正在实践这些提问的原则.

大家注意看，他问了一道题.然后找了一道相似的题目，谈了它们的差异.并且自己通过搜题软件找到了答案，但是觉得运算量太多，想了解有无更优解法.

2

用直线的参数方程优化求解

这道题画出图来是这样的.

直线AB过定点P，而我们所求的两条线段PA，PB都有端点P，这就非常适合采用直线的参数方程求解.

其中（1，0）是定点坐标.α是直线的倾斜角，t表示从定点出发的有向线段的数量.

t是有正负的.若某点在P点上方， t为正值，比如本题中的点A，其对于的t值为正；若某点在P点下方，t为负值，比如本题中的点B，其对应的t值为负.

注意到有向线段的正负，我们得出两条线段长乘积的表达式.

这是一个关于角α的函数，为便于求最值，我们做如下变形.

这是一个齐次分式，可以化为正切.但是首先要讨论余弦值是否为零.

不管是从图形上看，还是从表达式本身来看，都能确定k>1或k<-2.

下面的任务就是求函数f(k)在k>1或者k<-2上的最小值.

用导数法比较直接，用分离、构造基本不等式的做法反而不易操作，不推荐.

过程不再赘述，给出答案.

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