6个非常励志的数学图形（加德纳趣味数学）

目录

序

1989 年版前言

前言

第1章 帕金斯夫人的被子和其他正方形填装问题

第2章 弗利斯医生的数字命理学

第3章 随机数

第4章 上升的沙漏和其他物理趣题

第5章 帕斯卡三角形

第6章 堵塞、热及其他游戏

第7章 歪招和模棱两可的歪招

第8章 皮特·海因的超椭圆

第9章 如何三等分一个角

附录

深色部分为本文所述内容

序

加德纳是一位了不起的人物。他最为人熟悉的身份，是《科学美国人》数学游戏专栏多年的作者。每个月成千上万的杂志读者会迫不及待地翻到加德纳 的专栏，找寻趣味数学世界有什么新鲜事。无论他是在叙述矩阵博士的诙谐趣事，还是对一些近期的研究给出一个旁征博引的阐述，这些文章的风格总是那么平易近人，简明易懂。

我有幸几次去到加德纳以前在纽约哈德孙河畔黑斯廷斯村的房子里，拜访他和他的妻子夏洛特。欢乐的时光大多用在了欧几里得大道上的那座房子的顶层，那是加德纳的书斋。里面充满了各种谜题、游戏、机械玩具、科学趣题， 以及许多其他有趣的物件，完全像是个巫师的老巢。这倒不是不恰当，马丁正是一个观察敏锐的业余魔术师，拥有许多魔术书籍，当然了，也有一套鲍姆（L. Frank Baum）所撰写的奥兹国系列书。他的其他书也同样有趣。还有什么地方你可以随意从书架上拿下一本书来，然后发现，这完全是一本小说，里面却没有用到一个字母“e”呢？

不要就此下结论说，加德纳他就是一个彻头彻尾的怪人。事实上，他是一位极为理性的人，对于骗局、骗子或者任何类型的骗术毫不留情。他撰写了多篇文章，揭露各种骗局，并且还有一本佳作《打着科学名义的风潮与谬论》（Fads and Fallacies in the Name of Science），其中你可以读到许多如今仍然盛行一时的谬论。那本书，尽管笔调很轻松，却是经过谨慎研究的作品，一如他所有的作品一样。事实上，他是一位学问渊博的人，拥有芝加哥大学的哲学学位， 并且写下了关于这么多论题的著作，这几乎令人难以置信，特别是像他这样一位安静而谦虚的人。

在加德纳的书斋里，令我最感兴趣的是那个文件柜。加德纳定期给一群人写信，这些人中有专业的数学家，也有热情的业余爱好者。无论他们创作了什么样的数学项目，都会被插入到精心排列、加上索引的文件柜里，其中也包含许多3.5 英寸软磁盘，与他的《科学美国人》专栏以任何方式相关的任何事物的描述都会被记录在上面。

加德纳的专栏常常谈论的是其他人的作品。也许是委内瑞拉的一个在校 女生X 小姐，写信给他探讨一个从她的朋友那里听来的问题。看一遍这个文件柜，可能会有一篇来自于Z大学Y教授的研究论文，探讨的是类似的问题。加德纳会写信给Y教授，讨论X小姐的问题，或许一两个月以后，会出现一篇专栏文章，对这个问题给出一个比Y教授更为简单的解释。

加德纳一直声称，他并不是数学家，这也正是他能够如此明白地对外行解释数学的原因。他发掘了不少趣味数学的优美文章，从而影响了这么多的非数学家，间接的影响更多。其实，大多数我遇见的年轻数学家，都充满热情地告诉我“，马丁·加德纳的专栏”是如何一路陪伴着他们成长起来的。

这本书中的很多内容，都勾起了我对去马丁家拜访的回忆。《帕金斯夫人的被子》（第1章）是我最早寄给他的一封信中所讨论的主题，而且我们肯定在厨房的桌子上，玩过一些萌芽游戏（《幻星、萌芽游戏及心算奇才》第1章）。看起来，20年来，在萌芽游戏上，没有新的知识出现——谁确实拿下了7个点的普通模式游戏，或者5个点的“悲惨”模式游戏？

加德纳善良地在《幻星、萌芽游戏及心算奇才》第7章的参考文献里标注了我的“末日”日历规则。当然，他并没说他才是那个起草这一规则的人，它是在我对欧几里得大道为期两周的一次访问时，被丰富完善起来的；而上升的沙漏（第4章），则是在那里壁炉台上奇妙的物件之一。

下面是一个简单的方法，可以很快地收回买这本书所付的钱。召集十个或更多的人，并且问他们，一辆没有骑手的自行车，当一个人把底下的踏板往后拉时（同时有其他人扶着它，只是防它倒下），会发生什么事。承诺要是谁答对， 就给谁25 美分，前提是，任何答错的人都要给你25 美分。允许他们尽情讨论， 但是不可以进行试验。然后所有人出发去找来一辆自行车，然后看着它发生那件不可思议的事（第4章，第20道题）。至今为止，我每次尝试都至少赢来一美元。

你可能已经注意到，这本再版并再次发行的书，一如原来的版本，都是献 给我的。在我与伯利坎普（Elwyn Berlekamp）、盖伊（Richard Guy）的合著《稳操胜券之道》（Winning Ways）一书中，我已经回致了敬意。我们将其献给马丁·加德纳，他为数百万人群带去了数学，比其他任何人都要多。

约翰·康韦新泽西州普林斯顿大学

1989年3月

1989年版前言

由Knopf 出版社发行的，我《科学美国人》专栏的三本合集，现在已绝版了。这三本书都将由美国数学协会重印。

除了小小的纠正外，原文保持不变。我已经在大部分章节中增添了一个啰唆的补遗。

我想特别感谢康韦，现在是普林斯顿大学的数学教授，他为这个新版本撰写了序。还要感谢我的编辑伦兹（Peter Renz）接手了这三本书，并且顺畅地引领着这本书到了出版阶段。

马丁·加德纳

1988年10月

前言

一位数学老师，无论他有多么爱他的学科，无论他怀有多强烈的沟通意愿，永远面临着一个巨大的困难：如何令他的学生保持清醒？

对于一个写数学书的外行而言，不管他有多努力，想要避免使用术语，并 且令他的讨论主题对读者的胃口，都面临着一个相类似的问题：怎样才能令他的读者继续翻看下一页？

“新数学”被证明没有任何帮助。当时的想法是最大限度地减少死记硬背的学习，强调“为什么”算术过程这样进行。不幸的是，学生们发现，交换律、分配律、结合律和基本集合论的语言，比起乘法表来说，更加沉闷无趣。纠结于新数学的平庸老师，变得更为平庸，而表现糟糕的学生，只学了一些除了发明该术语的教育家本人外没有人会使用的术语，而其他几乎什么也没有学到。有几本书是专为了对成人解释新数学而撰写的，但是他们比旧数学的书更加乏味。最终，连教师也厌倦了提醒孩子，他写的并不是数字，而是数学符号。克莱因（Morris Kline）的书《为什么约翰尼不会做加法》（Why Johnny Cant Add），对此给予了完全的否定。

在我看来，要令学生和门外汉觉得数学有趣，最好的办法是以游戏的精神来学习。到了更高的层次，特别当数学应用于实际问题时，是可以并且应该非常严肃的。但是在较低的水平，没有学生会被激励而去学习高级的群论，即使告诉他，如果他成为一个粒子物理学家，他会发现数学很美丽且令人兴奋，甚至还很有用。当然，要唤醒一个学生，最好的方法是向他展示有趣的数学游戏、益智题、魔术把戏、笑话、悖论、模型、打油诗，或者任何其他的事物，这些事物无趣的老师会尽量避免，因为他们觉得这看起来太不正经了。

没有人建议一个老师只需要逗乐学生而不做其他任何事。而一本只给门 外汉提供益智题目的书，与只讲述严肃数学的书一样的书，毫无效果。显然，必须兼备严肃性和趣味性。趣味性令读者保持清醒，而严肃性则令这游戏有价值。

这就是从1956年12月开始写作以来，我试着在我的《科学美国人》专栏中给出的组合。这些专栏已有6本合集先前出版。这是第七本。与先前的合集一样，专栏文章经过了修订，并且进行了扩充，以跟上当下实际情况，和收录了读者的宝贵意见。

本书涉及的主题丰富多彩，仿佛是一场旅行狂欢节，人们可以欣赏到形形色色的表演，享受不同旅程，尽情领略沿途风光。无论是专业数学家还是仅仅“到此一游”的游客，我希望每一位漫步欣赏这一趟丰富多彩的数学旅途的读者，可以享受到喧闹的乐趣和游戏。假如他真的这样做，当最终旅途结束的时候，他可能会惊讶地发现，甚至不需要努力，他已经吸收了大量不同寻常的数学知识。

马丁·加德纳

1975年4月

第八章

皮特·海因的超椭圆

有一种艺术，没有更多，不会再少：

做任何事情，都要朴实，不可花哨。

——皮特·海因（Piet Hein）

一个文明的现代人，总是从各个方面，无论是室内还是室外，被塑造物体形状的两种古老方式之间的微妙而人们很少注意到的冲突所包围。这两种方式是：成直角和成圆形。圆形车轮的汽车，由手动圆形方向盘控制着方向，沿着纵横交错如同矩形网格线一般的街道行驶。建筑物和房屋大多数均由直角构成，圆形的穹顶和窗户偶尔点缀一番。我们在矩形或圆形的桌子旁，膝盖上放着长方形餐巾，用圆形的盘子吃饭，用横截面为圆形的杯子喝饮料。我们从矩形的包装纸板上撕下火柴点燃圆柱形的香烟。还有，我们用矩形的纸币和圆形的硬币支付矩形的账单。

甚至我们的体育运动里也结合了直角和圆形。玩得最多的户外运动，是在矩形球场上玩圆球。室内运动，从游泳池到象棋棋盘，都是圆形和矩形的类似组合。矩形的纸牌拿在手中形成扇状的圆弧形排列。这个矩形页面上的字母， 是直角和圆弧的拼缀之作。无论你往哪个方向看，你的视野里都充满了方形、圆形以及与它们仿射伸缩的形状：矩形和椭圆。（在某种意义上，椭圆比圆形更多见，因为从一定的角度观察时，每个圆都看上去是椭圆。）在光效应艺术画作和纺织品设计中，正方形、圆形、矩形和椭圆形彼此争相表现，一如它们在日常生活中那样。

丹麦作家和发明家皮特·海因最近问他自己一个有趣的问题：怎样的一种最简单又最赏心悦目的闭曲线能够公正地居间调停这两种互相冲突的倾向？ 皮特·海因（他总是被提及全名）最初是一位科学家，他在斯堪的纳维亚国家和英语国家中以他那极其脍炙人口的各卷优雅格言诗（评论家们将之比作马提亚尔^①的隽语），以及他那关于科学和人文主义论题的作品而闻名遐迩。对于趣味数学家来说，他作为六贯棋、索玛立方块和其他一些有名的游戏和趣题的发明者而声名显赫。他是维纳（Norbert Wiener）的朋友，维纳的最后一本书《神和机器人》（God and Golem），就是献给他的。

① 马提亚尔（Marcus Valerius Martialis，约40—103/104 年），古罗马诗人。主要诗集有《奇观》（Liber Spectaculorum）和《隽语》（Epigrammata）。——译者注

皮特·海因问自己的这个问题，是由早先于1959 年在瑞典产生的一个棘手的城市规划项目所引起的。许多年之前，斯德哥尔摩就已决定对市中心的一块满是旧房子和狭窄街道的拥挤地区进行拆除重建工作。二次大战结束后，这项庞大而昂贵的项目终于上马。有两条新的宽阔的交通要道，一条南北向，一条东西向，在这个市中心地区相交。在这两条要道的交叉处，要铺设一个宽大的矩形场地（如今被称为塞格尔广场）。在这个场地的中心，是一个卵形的凹地，其中有一个喷泉，喷泉周围是一个卵形的水池，水池中有数百个较小的喷泉。阳光透过这水池的半透明池底，照入一个卵形的自助餐厅。这餐厅低于路面，周围满是由立柱和商店构成的卵形环。在这下面，最终还将有两个卵形的地下层，那里是餐厅、舞厅、衣帽间和厨房。

在设计这个中心凹地的准确形状时，瑞典的建筑设计师们遇到了意想不到的障碍。椭圆不得不被否决，因为它那尖凸的两头会对周围车流的顺畅性造成影响；况且，它放在那块矩形场地中也显得不协调。随后，城市规划者们便试图采用一种由八个圆弧构成的曲线，但它看上去就是一个拼凑之作，有八处曲率发生“跳跃”，十分难看。另外，规划要求对那些大小不同的卵形作嵌套式布置，但这种八圆弧曲线没法以一种讨人喜欢的方式被这样布置。

到这一步，负责这个项目的建筑设计团队就去请教皮特·海因。这种问题， 需要的正是他那数学和艺术的联合想象力，正是他那幽默感，正是他那在人们意料不到的方向上进行创造性思维的才能。那么，他会找到怎样的一种不像椭圆那样尖凸的曲线，它既能讨人喜欢地被嵌套式布置，又能显得十分协调地放在斯德哥尔摩市中心那块矩形的露天场地中？

要理解皮特·海因的新奇答案，如他所做的那样，我们必须首先将椭圆视作一个更为普遍的曲线集合中的一个特殊情况，这个集合中的曲线，在笛卡儿坐标系中的方程为：

其中a 和b 是不相等的参数（任意常数），它们表示该曲线的两个半轴长度，而n 为任意正实数。竖直线括号表示对每个分数要取它的绝对值；也就是说，不管其数值的符号。（在后面给出的一些公式中竖直线括号将被省略，假设绝对值是不言而喻的。）

当n=2时，满足方程的x和y的实数值（用现代的术语来说，它的“解集”）决定了落在以这两个坐标轴的原点为中心的椭圆上的图形点。当n 从2向1递减时，这卵形的两头更为尖凸（海因称之为“半椭圆”）。当n=1时，这个图形是一个平行四边形。当n 小于1时，这四条边是凹曲线，并且随着n 趋近于0，这四条边越来越凹。到n=0，它们退化为两条相交的直线。

如果n被允许增长到大于2，这卵形的边就越来越平直，它越来越像一个矩形，事实上，当n趋向无穷大时，矩形是它的极限。在什么时候，这样的曲线看起来最顺眼？皮特·海因设定。

在计算机的帮助下，400 对坐标被计算到15位小数，画出许多不同尺寸的更大的精确曲线，它们具有相同的长宽比（以符合斯德哥尔摩市中心那块露天场地的比例）。这些曲线竟然是不可思议地令人满意，它们既没有太圆，也没有太方，优雅地结合了椭圆和矩形的美。此外，如图8.1和图8.2所示，这样的曲线可以被嵌套式布置，给人以一种强烈的协调感和同心卵形线之间的一致感。皮特·海因将所有这些有2以上指数的曲线称为“超椭圆”。斯德哥尔摩立即采用了这个指数为的超椭圆作为它新市中心的基本主题。当整个中心最终完工的时候，它必然会成为瑞典的著名旅游景点之一。（对数学家而言当然是！）这个大型超椭圆水池已经为斯德哥尔摩带来一种不同寻常的数学特色，就好像圣路易斯拱门的大悬链线，主导着当地的天际轮廓线那样。

图8.1 同心超椭圆

图8.2 斯德哥尔摩的地下餐馆

及其上面水池的平面图

同时，一位大众熟知的瑞典家具设计师，马森（Bruno Mathsson），饶有兴味地采用了皮特·海因的超椭圆。他首先制作了各种超椭圆形的书桌，现在摆放在许多瑞典高管的办公室内，随后又设计了超椭圆形的桌子、椅子和床。（谁还需要棱棱角角？）丹麦、瑞典、挪威和芬兰的各行各业纷纷向皮特·海因寻求各种直角与圆不相容的问题的解决方法。最近几年以来，他一直致力于设计超椭圆形的家具、餐具、杯垫、灯具、银器、纺织品图案等等。其中的桌子、椅子和床还体现了皮特·海因的另一种发明：非同寻常的自夹紧的桌脚、椅脚和床脚，极易拆下和装上。

“与圆和椭圆一样，超椭圆有着令人信服的统一性，但没有那么显眼，也没那么平庸。”皮特·海因最近在一本关于应用艺术和工业设计的主流丹麦杂志上写道。（该杂志那一期的封面，是白底上一个凸显的黑色线条的超椭圆，并配以这种曲线的方程。）

“超椭圆不仅仅是一种风靡一时的新时尚，”皮特·海因继续写道，“它是对一次和二次的较简单曲线，即直线和圆锥曲线的束缚的一个解脱。”顺便说一句，我们不能将皮特·海因的超椭圆与常见的，特别是在电视机屏幕形状上看到的土豆形曲线混淆。这种曲线难得超过用各种圆弧拼接成的卵形线，并且没有任何能将审美上的统一性赋予曲线的简单方程。

当椭圆的两条轴相等时，它当然是一个圆。如果在圆的方程

中，指数2被一个更大的数代替，绘制出的曲线就变成了皮特·海因所称的“超椭圆”。指数为 时，从它艺术地处于两个极端当中这个意义上说，它是一个真正的“方圆”。具有一般方程

的曲线，当n从0趋向无穷时，其形状变化画在图8.4中。如果这个图可以沿着一根轴被均匀地拉伸（仿射变换之一），它将描绘出以椭圆、次椭圆和超椭圆为其成员的一族曲线。

用同样的方法，可以把球和椭球的相应笛卡儿方程中的指数提高，以获得皮特·海因所称的“超球”和“超椭球”。如果该指数是，这样的立体可被视为在通向成为立方体和长方体的道路上走到半途的球和椭球。

真正的椭球，有3条不相等的轴，方程为：

其中a、b 和c是不相等的参数，代表每条轴的一半长度。当这3个参数相等时，这个图形便是球。当只有两个参数相等时，这个表面称作“旋转椭球面”或类球面。它是将一个椭圆绕其相等两轴中任一根旋转而形成的。如果旋转是绕较长轴进行的，其结果就是一个长随球——一种蛋形，其圆形横截面垂直于这根轴。

事实证明，对一个密度均匀的长椭球的实体模型，用其任何一头竖起时， 都无法比一个鸡蛋竖起时更能保持平衡，除非有人对鸡蛋使用一种通常被认为是哥伦布采用的计谋。哥伦布在1493 年发现美洲大陆之后，回到西班牙，他以为新发现的大陆是印度，从而证明了地球是圆的。在巴塞罗那，人们设宴招待他。这是本佐尼（Girolarno Benzoni）在他的《新世界历史》（History of the New World，威尼斯，1565 年）中所讲述的故事（我从一个早期的英译本中引来）：

哥伦布和许多体面的西班牙人在一次聚会上……其中一个人担保说道：“克里斯托弗先生，即使你没有找到印度人，在这里我们西班牙自己的国土上， 我们也不会连一个尝试去做你同样事情的人也没有，因为这里满是伟大的人物，他们精通宇宙志和文学。”哥伦布对这些话不置一词，只是要了一个鸡蛋。他把它放在桌子上，说道：“先生们，我将和你们所有人打一个赌，你们无法像我一样让这个鸡蛋在没有其他任何东西支撑的情况下立起来。”他们都试了， 没有人能成功地让它立起来。当鸡蛋回到哥伦布的手中时，他把鸡蛋往桌子上一敲，只是稍稍敲破了鸡蛋的一头，就让它稳稳地立住了。所有的人尴尬不已， 他们都明白他要说的话了：在他做完这件事之后，大家都知道怎么做了。

这个故事可能是真的，但是在此15年前，瓦萨里（Giorgio Vasari）就在他著名的《最杰出的画家、雕塑家和建筑师们的生活》（Lives of the Most Eminent Painters, Sculptors and Architects，佛罗伦萨，1550年）中讲述过一个似乎相似的故事。年轻的意大利建筑师布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi），为佛罗伦萨大教堂——圣母百花大教堂设计过一个大而重得不同寻常的圆顶。该市的官员们要求看看他的模型，但他拒绝了，“他提出……谁能在一个大理石平面上让一个鸡蛋竖直立起来，谁就应该去建造那圆顶，因为这样每个人的才能就能得到识别。于是取一个鸡蛋，所有那些师傅们都试图让它竖直立起来，但没有一个人能找到方法。当要求布鲁内莱斯基把鸡蛋竖起来时，他轻轻拿起鸡蛋，把它的一头在大理石平面上一敲，便使其直立了起来。工匠们抗议说，他们也能做到这样。但布鲁内莱斯基笑着回答说，要是他们看了模型或者设计图的话， 他们也能够建起圆顶。于是事情就这样解决了——他应该被委派去完成这项工作。”

这个故事有一个超级搞笑的地方。当巨大的圆顶终于完工时（那是在许多年以后，但是在哥伦布第一次航海的数十年以前），它的形状是半个鸡蛋，底部是平的。

这些与超鸡蛋又有什么关系呢？好吧，皮特·海因（顺便提一句，关于哥伦布和布鲁内莱斯基的引文出处，就是他提供的）发现，一个指数为的超鸡蛋——实际上，任何指数的超鸡蛋——实体模型，假如与其宽度相比并不是很高的话，可以用任何一头站立并立即保持平衡，无需任何鬼花招！事实上，几十个胖乎乎的木质和银质的超鸡蛋现在在斯堪的纳维亚半岛各处礼貌而永久地站立着。

考虑图8.3所示的银质超鸡蛋，其指数为，高宽比为4∶3。看起来好像要翻倒了，但事实并非如此。超鸡蛋这种鬼魅般的稳定性（两头都是）可以被认为是超椭圆在方和圆之间协调平衡的象征，从而这也是像皮特·海因这样的人，那协调平衡的心智的一个讨人喜欢的象征，他如此成功地居介调停了斯诺（C.P. Snow）的“两种文化”。

图8.3 银质超鸡蛋，用任意一头都可稳定站立

图8.4 超圆形及相关曲线

由方程

表示的平面曲线族，首先是由19 世纪的一位法国物理学家拉梅（Gabriel Lamé）认识到并加以研究的，他在1818 年写了关于这些曲线的文章。在法国和德国，都被称为拉梅曲线。当n 是有理数时，它们是代数曲线，而当n 是无理数时，则是超越曲线。

当n=2/3，a=b时，曲线是星形线（见图8.4）。这曲线由在一个大圆内沿其内侧滚动的小圆上的一个点的轨迹生成，而这个小圆的半径为大圆的1/4或3/4。戈洛姆（Soloman W. Golomb）使人们注意到，假如n为奇数，并且拉梅曲线方程里的绝对值符号被去除，你会得到一个曲线族，著名的阿涅西箕舌线曲线是其一个成员（当n=3时）。霍根（William Hogan）来信说，由他和其他工程师所设计的那些风景区干道的拱门，往往是指数为2.2 的拉梅曲线。他说，在1930年代，它们被称为“2.2 椭圆”。

当一个超椭圆（指数大于2 的拉梅曲线）被应用到一个实际对象上时，其指数和参数a 和b 当然可以有所变化以适应环境和偏好。对于斯德哥尔摩的那个市中心来说，皮特·海因使用参数，a/b = 6/5。

几年以后，罗宾逊（Ger⁃ ald Robinson），一位多伦多的建筑师，把超椭圆应用于多伦多郊区彼得伯勒一个购物中心的停车库。长宽比例被要求是a/b=9/7。给定这个比例，一项调查显示，一个比2.7 略大一点的指数可以构成一个看起来最为美观的超椭圆。这表明e 可以作为一个指数使用（因为e=2.718…）。格瑞吉曼（Norman T. Gridge⁃man）在他关于拉梅曲线的内容丰富的文章中写道，罗宾逊用e作为指数，结果是，这个卵形线上的每一个点，除了与轴线相交的4 个点外，都是超越点。

读者们也建议使用其他参数。特纳（J. D. Turner）建议说，通过选择指数， 使所得图形的面积正好是圆形和方形（或者矩形和椭圆形）这两种极端图形的面积的平均值，从而居间调停这两个极端。曼德维尔（D. C. Mandeville）发现这个调和圆形和方形的面积的指数，如此接近π，这使他想知道，它是否就是圆周率。不幸的是，事实并非如此。布莱克（Norton Black）使用计算机确定，该值比3.17 略微大一点。特纳还提出，通过选择一个指数，使所得曲线通过一条将矩形的角连到椭圆上相应点的直线的中点，来调和椭圆和矩形。

特纳和布莱克各自都建议将a/b 设为黄金比例，使超椭圆与美观的“黄金矩形”相结合。特纳选出的最美观的超椭圆，是参数a/b = 黄金比例，n = e 的卵形。巴林斯基（Michel L. Balinski）和霍尔特第三（Philetus H. Holt Ⅲ），在1968 年12月（我没能把该月的哪一天记下来）的《纽约时报》上发表的一封信里，建议将的黄金超椭圆作为巴黎的谈判桌的最佳形状。那时候，准备为达成一个越南和约而谈判的外交官们，正在就他们谈判桌的形状吵吵嚷嚷。如果在桌子形状上不能达成一致，巴林斯基和霍尔特写道，应该把这些外交官们放入一个中空的超鸡蛋，然后摇晃它，直到他们达成“在超椭圆上的一致”。

塞格尔广场，在瑞典语中称为“塞格尔托格”，仍在建造之中。超椭圆形广场以及与地面等高的喷水池已经建造完成。那下面的皮特·海因拱廊，及其商店和餐厅，预期将在1979年完工。

超鸡蛋是更一般的立体形状的一个特例，可以称之为超椭球。这种超椭球的方程为：

当a=b=c时，其立体是一个超球。随着指数的变化，其形状从球变为立方体。当a=b时，这个立体的横截面是超圆，其方程为：

具有圆形横截面的超鸡蛋，方程为：

当我在我的专栏里写超椭圆时，我认为任何一个指数大于2和小于无穷大的立体超鸡蛋，假如它的高度和宽度之比不超过一个太大的比值，将在用其任何一头站立时保持平衡。当然，指数无穷大的立体超鸡蛋将成为一个直立圆柱，从原则上说，无论它的高度比宽度多出多少，它总是能用它的平底站立。但是在不到无穷大的情况下，看起来在直觉上很清楚：对于每个指数，存在一个临界比例，若长宽比超过这个临界比例，鸡蛋就无法保持稳定。事实上，我甚至发表了下面的证明：

如果一个鸡蛋的重心CG低于其底线中点的曲率中心CC，那么鸡蛋就会平衡。它平衡，是因为对鸡蛋的任何轻推都会提高重心CG。如果CG比CC高，鸡蛋就不稳定，因为最微小的推动都会降低重心CG。为使这一点更清楚，首先考虑图8.5左边所示的球。球内CG 和CC位于同一点：球心。对于任何一个指数大于2的超球，如图8.5 左边第二图所示，CC高于CG，这是因为其底部凸起不够。指数越大，则底部凸起越少，CC就越高。

图8.5 关于超鸡蛋不稳定性的

错误证明示意图

现在假设超球被均匀地沿其竖直坐标往上拉伸，变为一个旋转超椭球，或者皮特·海因所称的超鸡蛋。在它被拉伸的时候，CC点下降，CG点上升。显然，CC和CG必定重合于某一点X。在到达此临界点之前，超鸡蛋是稳定的，如图8.5 左边第三图所示。过了这个点，超鸡蛋就不稳定了（图8.5右）。

格雷姆（C.E.Gremer），一位退役的美国海军指挥官，是众多读者中第一个告诉我这个证明是错误的人。与直觉相反，在所有超鸡蛋的基座点处，曲率中心无限高！如果我们增加超鸡蛋的高度，而让其宽度保持不变，基座点处的弯曲程度就保持“平坦”。德国的数学家称之为平坦点（Flachpunkt）。在超椭圆的两头，有类似的平坦点。换句话说，所有超鸡蛋，不论其高宽比，理论上都是稳定的！随着超鸡蛋变得更高和更瘦，当然也有一个临界比例，在这个临界比例上，使这超鸡蛋倒下所需的倾斜度是如此接近零，以致材料的非均匀性、表面的不规则性以及振动和气流等因素都会令其实际上不稳定。但是，在一个数学上理想的意义上，没有临界的高宽比。正如皮特·海因所说，在理论上我们可以把任何数量的超鸡蛋，每一个宽为一英寸，高和纽约帝国大厦一样，头对头地一个放在一个上面，保持平衡，不会翻倒。计算使一个给定的超鸡蛋无法再恢复平衡的精确的“倒下角度”，在微积分中是一个棘手的问题。许多读者解决了这个问题，并且寄来他们的结果。

说起鸡蛋的平衡，读者可能不知道，如果你有足够耐心，并且手法很稳的话，几乎所有的鸡蛋可用它大的一头在光滑的平面上立起来。通过先摇晃鸡蛋试图弄碎蛋黄是没有用的。作为一个适于在客厅表演的戏法，更令人迷惑的是将鸡蛋用以下方法用它那尖的一头立起来：偷偷将一小撮盐放在桌子上，将鸡蛋竖立在上面保持平衡，然后轻轻地将多余的盐粒吹走，再叫观众们进来看。留下的令鸡蛋保持平衡的微量盐粒是看不到的，特别是在白色表面上。由于某种奇特的原因，用正当方法将鸡蛋用其大头站立并保持平衡，1945年在中国成为风潮，至少1945年4月9号的《生活》杂志上的图片故事是这么说的。

世界上最大的超鸡蛋，由钢和铝制成，重量将近一吨，于1971年10月设立在格拉斯哥的开尔文馆外，是为了向皮特·海因表示敬意，他出席了在那里举行的现代家园展并且作了演讲。超椭圆曾经两次出现在丹麦的邮票上，1970年，在纪念托瓦尔森（Bertel Thorvaldsem）的2克朗蓝色邮票上，以及1972年的圣诞节封缄上，上面有女王和亲王夫妇的肖像。

各种尺寸和材质的超鸡蛋，在世界各地的独特礼品专卖店里都有销售。用脱氧钢制成的小型超鸡蛋作为一种“行政主管的玩具”被推上市场。对它们的一个最好的玩法是，取一个这样的小超鸡蛋，用其一端站立，轻轻一推，试着让它做一个、两个或者更多个前滚翻，最后用另一端静止站立。壳壁中空的超鸡蛋，填以一种特殊的化学物质，作为饮料冷却器出售。更大的超鸡蛋被设计来装香烟。更昂贵的超鸡蛋，纯粹作为艺术品也正在制作。

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