有理数是指哪些数字（有理数是34）

有理数的英文是"rational number"，"rational"最常用的意思是：理性的，合乎道理的。但在《RANDOM HOUSE》（兰登辞典）中，"rational"还有另外的意思：比，"rational number"是指"可以精确地表示为两个整数之比的数"。我们教材中也有类似表示：整数和分数统称有理数。分数当然是两个整数的比，整数同样也可以看成两个没有余数的整数之比。

关于有理数这一叫法历史上还有一段典故: 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》，前6卷时的底本是拉丁文，他们将这个词的拉丁文( 即"logos") 译为"理"，这个"理"在文言文中的意思是"比值"。

明末时期日本落后于我们，常常派使者来我国，这个有理数的概念也被他们拿走了，但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够，直接将在文言文中表示"比值"的"理"直译成了"道理"的"理"，没文化真坑人呀！

直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错，可是到了清末，那时候中国落后于日本，于是清朝派留学生去日本，居然又将此名词重新传回中国，并且一直沿用至今。以致于现在中日两国都用"有理数"和"无理数"这一错误的说法。所以说现在对"有理数"名称的理解的疑惑是历史原因造成的。

数学家项武义曾倡议将有理数改名为"比数"或者"可比数"，但无奈这一改名工作量实在太大，所以一直没有成行。如果数学中能说明这一名称的背景，那么学生就不会对这一名称产生疑惑了。

反思一下，如果我不了解这个背景，是不是可以这样回答学生提问："这个问题我也不清楚，让我回去查查书，或者问问别人，不过我想，把整数和分数统称为有理数一定是有原因的，你的问题太好了，你忠实地去追求了真理，世界上不存在'没有什么为什么的事物'，凡事都值得去问为什么。"

此外，学生学到了到了实数部分还会有疑问：为什么有限小数和无限循环小数是也有理数? 有理数的定义中没有提"有限小数和无限循环小数"，教材中一直给出的解释就是"有限小数和无限循环小数"可以化为分数，那为什么呢?

依然还是有理数。

进一步还可以得到: 任何一个有理数一定可以表示成有限小数或者无限循环小数，在这里只需要讨论正有理数的情形即可。

其实我认为，随着计算机技术的发展，小数的精确度的计算越来越高，越来越方便，人们从小数的角度出发，通过比较小数的循环情况发现了规律，从而做出了无理数与有理数的区分。

有理数的产生，是数系扩充的必然结果，是人类文明发展所导致的，具有数系扩充的一致性。是整个实数范围的数系发展过程的产物，是在感知数与计数、自然数、分数、小数以及到有理数的产生中逐步延伸。

《道德经》有云"有无相生"，有理数的出现必定和无理数的出现是相关联的，是同时被命名的。但在有理数被命名之前，并不代表后期被归类为有理数的数不存在，例如："1、2、3.22"等分数、整数，它们本来就存在。但是在未被命名为有理数的时候，它们就不是有理数，正所谓"无名，天地之始；有名，万物之母"也。

远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的困难：原始人为了生存，他们在长期的狩猎和食物分配中逐渐出现了"有"和"无"的概念，以后逐渐形成"多"与"少"的概念，然后在对比中出现了"1"与"多"的区别。随着时间的推移慢慢地产生了数的概念。当时人们的认知里，超过3的物体都是"许多"。

我国伟大的哲学家在阐述"宇宙生成论"时就说："道生一，一生二，二生三，三生万物"，大致就是这个意思。而"4"以及"5、6、7……"等每一个数的产生，都是一个历史性的时刻。在存储、交换中，需要数数和比较，则需要记录数量，此时则产生计数，计数的过程经历了手指计数——实物计数——刻痕计数（初步符号计数）——符号计数，是一个漫长的过程。在自然数的符号表示方面，古罗马的数字相当特别，现在许多老式挂钟上还常常使用它们。罗马数字的符号一共只有7个，分别是：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1，000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。

中国人认可0要比西方早上千年。"零"的概念出现的比较早（中西方都如此），最初，人们在记数和计算时，由于需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法。这种记数法的产生，在表示"没有"和"空位"时就产生了初步的"零"的概念。

值得提出的是，中文里的"零"最初并不表示"空无所有"，只表示"零碎"、"不多"的意思。随着阿拉数字的引进。"零"字与"0"恰好对应，因此，"零"也就具有了"0"的含义。

以上所说的数都是自然而然产生的数，被称为"自然数"（除了0，0被视为自然数是在非常晚的，我国在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》中才规定自然数包括0。)即一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。此时此刻的数只指自然数。

据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记载了关于分数的问题。而我国在2000多年前，也有了分数，只是那个时候分数的表现形式与现在的不一样而已。值得一提的是，当时的印度也出现了和我国相似的分数表示法。引进分数，这是数的概念的第一次扩展。

开始，人类只能用整数表示数量，继而在所表示的数量的末尾附注"余"、"奇"或"强"、"弱"等字样，以表示该数量与实际量之间的差异，当需要用数来比较精确地表明这种差异的时候，就逐渐形成了两种表示方法：一种是用分数来表示不足整数的剩余部分（分数小数同时产生，相辅相成，但又相互独立）；另一种是发展度量衡系统，采用更小的度量衡单位来表示有关的量，如刘徽在注解《九章算术》时，长度的记法采用的单位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，"忽"是最小的单位，在计算中他把"忽"作为单位，以下那些没有明确单位的数就是小数，刘徽称作"徽数"。

刘徽是目前记载中最早使用小数的人，不管小数怎样进行发展，都没有脱离十进制的规则，而且逐渐进行完善，直到十九世纪末期，才形成现在这样用小数点进行表述小数的计数法。【备注：在无理数出现前，小数都是可以转化为分数的形式，无限循环小数也可以转化为分数】

到目前为止，数系的扩充到了整数和分数，区分的标准就是是否被分，能够完整且未被分割的数就是整数，被分开的数根据应用的不同场景分为分数和小数（此时的小数可统一为分数）。

在整个历史长河中分数也起到了非常重要的作用，开始人们只使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现了三分之一，三分之二等简单的分数，经过漫长的历史演变，直到阿拉伯人发明了分数线后，逐渐形成今天分数的表示法。

负数的产生和"0"的产生一样，在西方人的眼里一度被认为是一个魔鬼数字，与当时的教义理念完全不相符，在我们的实际生活中也无法直观地感触到，所以让人一度无法接受。但是它的出现却和我们的生活实践相契合。一方面，在我们的生活中经常遇到表述一些具有相反意义的量，如收入与支出、盈利与亏损、上升与下降等。另一方面，在数的运算中，经常会遇到例如"3 – 4 =？"这样的难题，这样就出现了现有的数（自然数、分数、小数）不够用的矛盾。于是，就产生了负数。当负数的概念产生的那一刻，也就有了正数的概念。正数与负数形成了具有相反意义的两个数。

数的扩充到上述为止，好像已经完美了，自然界的一切场景和现象都可以用这些数进行公度，但数学史上的一大危机的出现，改变了人们的看法。记住！世界上不存在'没有什么为什么的事物'，凡事都值得去问为什么。