关于圆规你知道些什么（其实我们的能量超乎你想象）

说到几何学，就不得不提到几何学的圣经《几何原本》。这部伟大的著作，第一次系统地向人们勾勒出一个清晰的世界，以及各种点，线，面之间的关系。也诞生了最经典的欧式几何，这也是符合最符合我们日常感官的世界，加之这本书的逻辑推理极为深刻，几千年来都是人们标准的教科书，流传程度仅次于真正的《圣经》。

欧几里得大师 研究尺规作图问题

《几何原本》里有一大类问题都是跟尺规作图相关的，人们起初并没有发觉用直尺和圆规作图情况下能诞生出多少精彩的结果。然而欧几里得大师告诉我们，仅仅只用圆规和直尺，我们也可以在纸上画出花来。

仅用圆规 直尺来作图

尺规作图，大家都有所耳闻，然而具体的细节要求就不是那么广为人知了。

1. 直尺必须没有刻度，无限长，可以连接两个点，不能传递长度。
2. 圆规可以拉开至无限宽，两个支脚也不能有刻度，只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度。
3. 操作的步骤不限，但是必须是有限次，哪怕你的作图步骤有一万步都是可以的，总之，你不可以无限进行下去。

先熟悉一下以前中学时代里学到过的关于尺规作图的题目。

1，过A点作已知直线的垂线；

2，过A点作已知直线的平行线；

3，过A点作已知圆O的切线；

4，。。。

不再列举了，再列举就成课后习题了。我们都很熟悉这样的操作方法，有人觉得这些技巧，算是好玩吧，好像也并没有什么太出彩的神奇啊。好，那现在咱们说点干货，我说只用尺规就可以完成任意线段的加减乘除，你信不信？

线段加减，这个操作完全没有任何难度。那乘除呢？应该知道的就不多了吧，比如，我们先作长度是a×b的线段（这里没有单位，单纯地以数字的乘积作为所求线段的长度）。

尺规作乘法

已知线段长度1,a,b，求作一条长度为a×b的线段。显然△ABO∽△DCO，于是x=a×b了，虽然这里的x就是我们求的线段，但是严谨性上看，我们必须要考察一下右边这个图是否满足尺规作图的条件。

第一步：将单位长度1用圆规截取到任意位置，并用直尺延长成直线AO，；

第二步：在直线AO上，以O为起点，用圆规截取长度OD=b，这一步很关键；

第三步：类似重复第一，第二步；

第四步：用直尺将A，B两点连接；

第五步：过D点作一条直线CD，使得CD∥AB，显然这也是可以做到的。

经过上面分析，由于这里的单位长度，以及a,b长度都是任意的，所以我们得出的结论具有一般性，因此尺规作图乘法没问题！那除法呢？其实比乘法稍微复杂一点，但是还可以搞定。

尺规作除法

已知线段长度1,a,b，求作一条长度为a/b的线段。这里同样要用到相似三角形的知识，我们容易看出△ABC∽△ADE,于是x/a=1/b,于是也就有x=a/b了。

得出上面的关系式是自然而然的，我们关心的是这里除法的作图是否也完全符合尺规作图的要求，再来具体分析一下作图方法。

第一步：将单位长度线段1用圆规截取到任意位置，并延长成直线AB；

第二步：将长度a的线段用圆规截取，并以A为端点，做射线AE;

第三步：在直线AB上截取线段AD=b的部分；

第四步：用直尺连接D,E两点；

第五步：过B点作线段BC,使得BC∥DE。

虽然有点绕，但是操作的思路还是让人无比清晰，也完全符合尺规作图的要求。于是，我们又可以宣布，除法也可以被尺规搞定。

那么有人问，尺规作图的能耐到此为止了吗？当然没有，它的能量超乎你想象！要不这个领域怎么能在两千年里长盛不衰呢？其实尺规还可以做更高难度的动作，比如开方。

尺规作开方

这里我们要作一条长度为a的平方根的线段。

在圆O里，D是任意一点，DB⊥AC，AC过圆心O，AB=a,连接AD,CD，由射影定理，（不知道射影定理的罚站5分钟）我们立刻就可以得到

DB²=AB·BC,于是x²=1·a,此时的DB就是所求线段。老规矩，我们再来分析一下作图过程：

第一步：首先截取长度a的线段AB，并延长至C点，使得BC为单位长度，这一步很重要；

第二步：取得AC中点O，这是我们最熟悉的尺规作图常规训练题，并以O为圆心，AO为半径画圆；

第三步：过B点作垂直于AC的直线DB交圆弧于D点,这一步也是常规训练；

第四步：连接AD,CD，构造出直角△ACD，于是结果一目了然。

这里稍微用到多一点的知识，但是我们仍然严格按照尺规作图的要求完成了这个根号的操作。

至此，我们宣布，用一般的尺规可以完成加减乘除，甚至开方运算。能开方，这是个了不起的结论，由于我们规定了操作步骤的有限性，我们把上述所有的运算叠加起来，就可以构造出许许多多复杂的线段长度。比如：

尺规作图可以构造出的数

这些数值看起来五花八门，但是，我们只要经过上述的有限次加减乘除以及开方运算，最终都是可以作出来的，虽然有的数我们很难想出构造的方法，但是理论上却无可辩驳证明了那种作图方法的存在！

历史上有相当多的人痴迷过关于正多边形的尺规作图法，人们总是想要刨根问底，后来证明并不是所有的正多边形都可以用尺规来作出。N=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64。。。可以用尺规作图完成，而N= 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36。。。 的正多边形就不可以作出。高斯王子19岁的时候在一个晚上的时间里就解决了正十七边形的作图问题，这个作图难题也困扰着数学界将近两千年。下面贴上几种正多边形的尺规作图方法。

正方形尺规作图

正五边形尺规作图

正十七边形尺规作图

那么尺规作图还可以构造出别的更高级的数吗？很遗憾，尺规作图的能力就到此为止了。比如说，某个数的立方根，这就是无论如何都是没法办到的。事实上，尺规作图的可能性就等于某个值能否只用二次根式进行表示。这是一句非常重要的话，如果理解了这句话，著名的三大作图难题不可能的根本性原因也就找到了。

三大尺规作图难题

其实很多现在普遍的几何学知识都是来自对于尺规作图问题的探索，人们在经历了两千年的研究历程之后才终于看清这个问题的本质。说到这里，关于三大作图难题的内容也就呼之欲出了，但是请听下回分解~

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