数学阅读与数学实践（阅读数学了解数学）

作者 | 黄玉霞 余庆纯

本文经作者授权发布作为数学文化征文活动的参考文献供读者参阅. 原文载于福建教育，2022（19）.

[摘要] 数学阅读能力是学生的一项重要数学能力。教师须从学生视角把脉数学阅读教学的重点和难点，有针对性地给予学生数学阅读策略与方法等方面的指导，以有效地提升学生的数学阅读能力。本文以张景中先生的《数学家的眼光》一书的阅读教学实践为例，阐述如何引导学生欣赏数学，提炼数学阅读方法，理解数学学科本质，提升数学认知水平与交流能力。

[关键词]数学阅读；拓展；方法策略

[作者简介]黄玉霞，莆田市教师进修学院，高级教师；余庆纯，华东师范大学数学科学学院

数学阅读，指对数学语言、术语、公式、图表等的感知和识别，对新概念的吸收和理解，是一个融“假设”“证明”“想象”“推理”于一体的积极认知过程。学生开展数学阅读，须基于数学思维，从数学的视角来认知、理解、汲取数学信息，进而推理，从具象中发展抽象思维。数学阅读和一般文本阅读一样，包含对阅读材料的分析、记忆等心理活动因素。数学学科具有符号性、逻辑性、严谨性和抽象性等特点，故而数学阅读不同于一般文本阅读，数学阅读的主要任务包括深度阅读思考、分析理解、掌握运用数学核心知识、领会数学思想方法等。

数学阅读具有重要的教育价值：丰富学生的数学背景知识，拓展学生的数学视野，促进学生对数学知识技能的理解、掌握，培养学生对数学的好奇心和兴趣，帮助学生领悟数学核心的思想与方法、积累基本的数学经验，引导学生感悟数学家攻坚克难的优良品质、形成良好的数学眼光与思维方式，引领学生赏析数理人文、品味数学文化。

《数学家的眼光》系“教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录(2020年版)”中唯一一本初中数学读物。《数学家的眼光》原有5章23小节，后面增补到6章34小节。此书从一系列中小学生熟悉的问题入手，引导学生体验、感悟“如何从众所周知的事实出发，挖掘趣味的数学规律并进行实际应用”，展现数学的知识源流、功能定位、审美娱乐与多元文化。

笔者以《数学家的眼光》阅读教学实践为例，提炼数学阅读的策略、方法，旨在为师生阅读数学、了解数学、欣赏数学提供一些实践参考。

一、整体阅读获感知

教师在初步通读、浏览整本书后，可甄别各章节内容适合哪个学段或哪个层次的学生阅读。例如，对八年级学生，教师可以以《数学家的眼光》第四章中的“三角形里一个点”为切入口，引导学生在比较阅读中感悟数学阅读的特征。笔者要求学生阅读“三角形里一个点”的12页内容，记录、回答问题：对比阅读12页的文科阅读材料，读懂需要多长时间？数学阅读过程中，我们需要做哪些准备(需要准备哪些辅助材料、工具)才能更好地理解内容？通过学习反思、问卷调查、课堂对话、深度访谈等方式，笔者发现学生对数学阅读的特点已形成了整体感知。

第一，数学高度抽象，需要进行逻辑推理。数学阅读过程中，学生须捕捉材料中的相关数学术语和符号，调用已有知识背景读透它们，并根据数学相关定理分析它们之间的逻辑关系，最终达到对材料的理解，形成知识架构。

第二，数学语言精准、精确。数学结论对错分明，不存在似是而非或模棱两可的表述。“三角形里一个点”有很多数学结论，表述上一些细微的不同导致数学内涵大相径庭。《数学家的眼光》中其他各章节的小故事涉及的数学语言也都有精准含义。

第三，数学知识有整体的逻辑并“言必有据”。数学阅读中，对新出现的数学结论，学生不能孤立地看待，而要联系相关知识，进行联想分析，形成完整的体系结构。“三角形里一个点”阅读中，对从平凡到不平凡的几个结论间的关联，学生须深思、多想，不断内化后构建体系。数学表达很大程度上是一个推理过程，前后表达之间常常存在因果关系，推理过程中存在命题的必要性、充分性逻辑连贯。可以说，数学推理的每一步都是有根据的。

第四，数学阅读往往是数形结合的阅读过程。数学阅读需要建立灵活的自动化的语言转化机制，而这也正是数学阅读区别于其他阅读的最明显的特征。在“三角形里一个点”中，学生对几个结论的推导都需要结合图形，须熟识文字、符号、图形语言相互对应的词汇，能准确进行“翻译与转化”，并结合图形做分析、推理。

通过整体阅读，学生能直观地感受到：数学阅读注重逻辑性与抽象性，体现在复杂的运算，严密的推理论证，文字语言、符号语言和图形语言之间的灵活转换等过程中。通过整体阅读，学生还初步感悟到一些基本的数学阅读方法，包括概括、比较、联想、综合等。

二、问题导读促分析

阅读前先看封面、书名、作者及目录，学生自然而然会有很多联想和疑问。教师可引导学生从数学的角度提出问题，例如，数学家的眼光到底有什么独特之处？书中的数学视角是如何形成的？你能不能从生活中提炼出一些数学问题？

《数学家的眼光》里有很多有挑战性的问题，且纵深拓展，学生不易理解。例如，“鸡兔同笼问题”虽由小学高年级知识引出，却一直延伸到高等代数的线性方程，给出了知识发展的整个体系。教师须帮助学生梳理素材并提炼出主问题，例如，对于“三角形里一个点”，笔者梳理了一个导读提纲：平凡到不平凡的结论有几个？分别是什么结论？你能独立思考完成哪几个结论的推导？你不能理解的结论障碍点在哪里？相关结论间有何联系？这些问题引导学生关注关键信息、提炼关键结论、分析与解决问题，提升了学生数学阅读的效率与质量。又如，“三角形的内角和”中提到数学家陈省身的质疑：“人们常说，三角形内角和等于180°。但是，这是不对的！”大家都认可的定理，为什么陈省身说不对？笔者要求学生阅读《数学家的眼光》第一章第一节，随后分析、回答以下问题：为什么陈省身说这种看问题的方法不对？为什么要从外角和的视角描述“三角形外角和是360°”？这个更一般、更简单的规律指向了怎么样的数学本质？对“多边形外角和等于360°”这个规律如何做一般化推广？著名的“陈氏类”理论是如何形成的？

数学家能从人们司空见惯的生活现象中看到数学的核心本质，这样的数学视角内隐且抽象，需要教师提炼、梳理。通过问题导读，学生能更有效地梳理数学文本内容，形成、发展数学抽象能力和数学建模能力。

三、圈画释义育习惯

通过“圈画”“标注”，学生可以快速找到数学文本材料中的关键信息(主要的条件、存疑的术语、疑惑的概念等)。具体而言，学生可以用相关的符号在文本上记录下自己阅读时的感受、疑问、思考，如用“…”“?”“---”“△”等符号标示重点词句、疑难困惑等。当然，圈画的内容须是重点内容，学生圈画过多，反而会分散注意力、干扰思维。

数学阅读离不开思考，故而学生须在数学文本旁及时记录下自己的思维过程(哪怕只是思维过程的片段)。学生可记录自己对问题的解读，即对该问题的不同理解或由该问题引发的联想，指出问题存在的纰漏等。记录过程若涉及系列观点，学生须标注逻辑顺序，例如，“三角形里一个点”从平凡到不平凡的结论有六个，阅读过程中就有必要梳理并加以标注，厘清条理，便于后续横向、纵向比较。在重要的文字、段落前，学生可加上特殊的符号，以提醒自己再次阅读时注意。此外，面对函数等问题，学生要有数形结合意识，要养成画草图的习惯，并在图形上标注出“条件的转换”；面对数学实际应用问题，学生须旁注困惑、猜想，将数学文本信息转化为促进自身数学理解所需的信息。

四、语言互译练表达

语言是数学的本质要素，数学学习首先是数学语言的学习。教师要有意识设置一些训练学生语言转化能力的情境，以合适的难度、合理的步骤打磨学生数学语言基本功。数学教学中，教师融合使用文字语言、符号语言和图形语言，通过三种语言的相互补充、相互转换帮助学生更好地掌握数学知识、发展数学思维能力。学生实现数学理解最重要的策略就是“内部言语转换”，即将阅读内容转化为自己容易接受的语言形式。具体而言，学生可通过过程性实践、建构性阅读，把问题的抽象描述转化为具体表达，即“创造性用自己的语言描述问题”。例如，“三角形里一个点”给学生展示了多个从平凡到不平凡的结论，用的是文字语言，且均涉及几何逻辑推理，学生须借助图形语言，使这些文字描述直观、可视。教师可引导学生解读文字信息，画出图形，并将相关条件标注在图形上，随后用符号语言进行步步有据的推理论证。规范学生的数学符号语言是初中数学教学的一大难点，故而在课堂教学的回顾、小结、提升、归纳等环节，教师须时时强调规范书写的重要性，引导学生养成用准确的数学符号语言表达的习惯，打通学生数学三种语言转换、互译的关键节点，以从根本上提升学生的数学阅读能力。

五、评价提动培能力

学生数学阅读的成效需要外显化的评价呈现方式，即阅读过程需要评价来监控，阅读方法需要评价来调整。我们不妨引导学生通过“说(说题、说解决方案、说感受)、画(画思维导图)、写(写解题过程、概括阅读的主要内容)、辩、做”等多种多样的方式来表达他们的所思、所得、所感、所悟，例如，笔者要求学生做思维导图，对《数学家的眼光》整本书内容进行列表梳理，并给出思维图示——将阅读信息由繁到简、有无序到有序、由散状到结构化进行组织，从而实现“理解性记忆”和“结构化思考”。笔者展示部分作品，引导学生从数学的视角分析、评述这些作品，挖掘思维导图的内涵，实现与文本对话、与作者的思想对话。在学生开展有效阅读的基础上，笔者穿插着提出问题：“-3.5，，，0.161161116”中，有理数有。笔者提醒学生注意，不少有理数判别题中出现“”这个数。为什么频繁用这个分数？相邻近的其他分数为何不用？是否有什么讲究？有学生分享阅读体会：是祖冲之计算圆周率过程中的一个关键节点，是圆周率的近似值，被称为“约率”，误差较大。而被称为“密率”或“祖率”，密率又被称为的“最佳近似分数”，不仅精确，还有很多妙处。与“约率”案例类似，“洗衣服的数学”“用圆规画线段”等和生活实践密切相关的故事均能很好地激发学生的数学学习兴趣、训练学生的数学表达能力。教学中，教师要搭建展示平台，展示学生“说、画、写、辩、做”的成果，利用过程性评价，让学生的数学阅读过程可见、数学思考过程可见、数学成长过程可见。

通过浏览《数学家的眼光》，学生读标题猜内容、读目录品结构、读前言找价值、读概要究内涵，在有限的时间内锁定了自己最感兴趣的内容，为后续进行品味性阅读铺路。学生边读边思考，逐步掌握分析、概括、比较、综合、联想等阅读方法，实现“以读促思、以思促达”。针对一些逻辑性较强、推理能力要求较高的专题，学生则可进行探求性阅读，完成部分特定任务；也可以合作学习，与他人组成共读小组，把多项任务整合成某个项目，制订研究计划，搜集、整理相关材料，交流、探讨、发布阅读成果，实现数学阅读的项目化学习。

苏霍姆林斯基在《给教师的建议》中提到，教师应该有一批书籍，用来扩充学生在大纲教材方面的知识。可见，引导学生阅读数学拓展性书籍具有极其重要的意义。通过数学阅读，学生学会从数学视角观察世界，养成理性思考问题的习惯，能够用数学语言规范地表达自己的见解；既了解数学史实、品读数学内涵，又欣赏数学之美、感悟数学之用，还掌握数学阅读方法、提升学习能力，向抽象的数学世界迈进了一大步。

注：本文系福建省教育科学“十三五”规划立项课题“核心素养导向下提升初中学生数学阅读能力的策略研究”(编号FJJKCG20-312)的成果。

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