二次函数和幂函数讲解（基本初等函数-幂函数）

在数学、物理上，把函数分为基本初等函数和非基本初等函数。什么是基本初等函数呢？

首先了解一下基本初等函数的两种分类方式：

1.按高等数学分类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

2.按数学分析分类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

也就是说，第二种分类要多一个常数函数。常数函数较为简单，比如说f(x)=1,这就是一个常数函数。由于常数函数相对比较简单，这里就不多加赘述。

我们本节课重点掌握幂函数！

幂函数：一般地，形如y=xa(a为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

受文字格式的限制，打不出指数幂，建议你直接看我的图片介绍。

学习任何一个知识点，理解并记住概念是非常必要且必须的。下面来做几道练习，看你对概念掌握如何：

公布答案：（1）是（2）是（3）不是（4）不是（5）不是

你做对了吗？解答一下疑问：严格定义的幂函数必须是x的a次幂这种形式，x前面不能有其他系数，后面也不可以有其他附加项。所以（3）（4）（5）都不是幂函数。你掌握了吗？

掌握了什么是幂函数以后，我们要研究一下幂函数的性质了。先来看下以下几个幂函数：

你先在坐标纸上做出以上5个幂函数的图像。老师我已经做好了，你对比一下：

欧阳老师已经用不同颜色的曲线区分开了，相信聪明的你应该可以找到各自对应的曲线。

通过这个函数图像，我们能获取什么信息呢？提醒你，研究函数图像都是从定义域、值域、函数奇偶性、单调性、公共点等几个方面入手的。你发现了什么秘密？

欧阳老师之所选以上5个幂函数，是因为它们非常的有代表性。仔细看它们的指数幂，有大于0的，有小于0的，还有分数的。因此，它们几个就几乎可以代表所有的幂函数了。

我们从表格以及图像可以总结出以下4个幂函数性质：

(1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；

(2) 如果a＞0，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,＋∞)上是增函数；

(3) 如果a＜0，则幂函数图象在区间(0,＋∞)上是减函数，在第一象限内，当

x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；

(4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数．

关于幂函数第（4）条性质，欧阳老师在讲函数的奇偶性的那节课就已经提到，觉得感兴趣的同学可以去回顾一下，温故而知新。

以上就是本节课的内容，下节课我们讲指数函数和对数函数，再下节课我们讲三角函数和反三角函数。总结下今天所学内容：

(1) 介绍了5种基本初等函数；

(2) 幂函数的定义；

(3) 图像分析幂函数的性质.

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