跟涛哥学数学三角函数的动点问题（从少年圆鱼洲到追光课堂）

七年级学生暑假在追综艺节目《少年圆鱼洲》，参赛选手中有参加过《最强大脑》的三高学霸曹奂东（身材高颜值高智商高）。感谢曹奂东，同学们追综艺节目一路追到了追光课堂（b站账号：真的曹奂东），原来看综艺节目也能学数学。有位七年级同学看曹奂东讲二次函数，感觉看完收获满满。七年级没有学扎实的地方开悟了，配方法学会了，能够用配方法解二次方程了。

接下来先说一些闲话，再谈谈观后感和正弦函数。

让人茫然失措的恋爱题

少年圆鱼洲第二期，曹奂东在闯某个关口时选择了恋爱题，但是，恋爱题的逻辑让他丈二和尚——摸不着头脑。

第一题：请看下图。

怎样让算式79=42成立？

文韬的思路是取绝对值，变成下面的等式：

|7-9|=|4-2|

节目组给出的答案是：

7²=49

第二题，请看下图：

正确答案是：not（不行）

第三题：再看下图。

题目和答案见上图。

曹奂东老师说，美国数学教育里有很重要的一部分，就是交流。数学课上，每个小组要做一份东西出来，并上台讲述。

国内应当引进这种做法，因为对学生有很大的帮助。特别是以后大学毕业，这种能力对于做数学科研，有很大帮助。

不过有个问题，高考不考口试，不考这个，所以国内不会引进，没有动力。

同学之间，也应当多交流。如果有同学来问你一道题，你要把自己的思考清楚地表达出来，把同学教会。这对你自己绝对有很大的帮助和提升。

现在我们去追光课堂，听曹老师讲三角函数。

怎样引入三角函数

曹老师介绍了三角函数的概念。1748年，伟大的欧拉在他的著作《无穷小分析》中首次建立了三角函数的概念。他说，三角函数就是函数线和圆的半径之比。

详情请大家参阅下面的相关链接https://m.toutiao.com/is/j8LnCMK/?=三角函数表的诞生 - 今日头条https://m.toutiao.com/is/j8NmYHJ/?=学一点科技史：三角学史略 - 今日头条

追光课堂截图

曹老师介绍的正弦函数的概念是我们的学校老师教的，但是，老师从来没有告诉我们，为什么取这个名字，弦是什么意思。

解释一下正弦函数名字是怎么来的。说弦是斜边，这没错。直角三角形的三边在古代中国被称为勾（短直角边）股（长直角边）弦（斜边）。

更好的解释是：用圆的弦长定义正弦。在直径为1的圆中，圆周角α所对的弦长，叫做角α的正弦，记作sin α。

在直径为1的圆中，圆周角α所对的弦长=sin α

连接圆上任意两点的的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是一个圆内最长的弦。

由于在同圆内，相等的圆周角对等弦，所以，用圆的弦长定义正弦是合理的。这个定义可以溯源到古希腊的天文学家、数学家希帕克斯。他著有《论圆中弦》，对后辈托勒密（《至大论》的作者）影响颇深。

有了这个定义，我们就可以推导出正弦的一些性质：

① sin α对0°到180°之间的一切α有定义。sin 0°=sin 180°=0，而对0°<α<180°，有sin α>0。

②因为直径所对的圆周角都是直角，所以，直角的正弦值为1，即sin 90°=1。

③ 由上图可知，因为圆内接四边形对角互补，所以sin（180°-α）=sin α。

④ 接下来，我们考虑从特殊情况（直径为1的圆）推广到一般情况（直径为d的圆）。这时，圆的直径和弦长都按比例放大成为原来的d倍，从特殊的圆变成了任意圆。圆周角α和所对弦长a的对应关系从a=sin α变成了a=dsin α。当d=1时，字母d可以省略不写，当d不是1时，就不能省略了，就得到a=dsin α。

⑤把上式变形，可知α和sin α之比等于d。于是，作为④的直接推论，立即得到了正弦定理：

在任意三角形△ABC中，角α、β、γ的对边记作a、b、c，△ABC的外接圆直径为d，则有

⑥ 当角γ为直角时，由正弦定理可得：

c·sin α=a·sin γ

因为sin γ=1，所以上式可改写成：

c·sin α=a

上式两边同时乘以c的倒数，即

由此可见，用圆的弦长定义正弦和课本上的正弦定义是一致的。

从函数到三角函数

在考虑一个问题时，如果一个量在全过程中只能取一个确定值，就称为常量。而有些量可以取不同的值，这种量就是变量。不同性质的变量，取值范围是不同的。一个变量可能取值的数集合，叫做它的变化域。

种田要施肥，施肥量虽然和产量有关系，但是不能制约产量。

长方形的周长和面积是有联系的，但是知道了周长，却无法确定面积。

一个题目里，未知数应当和已知数有联系。可是光有联系还不够，还应当有确定性的联系，有制约关系。这才有可能从已知数出发，找到未知数。

一支铅笔5分钱，买3支一角五，x支便是0.05x元。铅笔的支数x制约了钱数y，y=0.05x。

正方形的边长a给定了，面积S也确定下来了。边长可以制约面积，S=a²。

如果变量甲可以制约变量乙，甲定了，乙也确定了，就说乙是甲的函数。甲是主变量（或自变量），乙是从变量（或因变量）。

买铅笔的例子中，钱数y是铅笔数x的函数，函数关系可以用y=0.05x表示。正方形面积S是边长a的函数，函数关系可以用S=a²表示。

前面说到了变化域，在函数关系中，主变量的变化域叫做函数的定义域，从变量的变化域叫做函数的值域。

函数，就是数集合到数集合的映射。函数是映射的特例，映射是函数的推广。

可以用一个字母来表示一个函数关系。例如，x在集合M中变化，x的函数y在集合S中变化，用f表示x与y的函数关系，这件事可以表达为，

f：M→S，

或 y=f(x) （x∈M，y∈S）。

这里x要取遍M，y却不一定取遍S。

这个“f”，好比一台加工机器，输入一个x，输出一个y。

一个f，可以代表一串运算，举个例子，约定了

f(x)=2x² 6x-4，

那么f(5)就可以表示“2×5² 6×5-4”这么一大串，多么方便啊！

现在说说正弦函数和三角函数。正弦函数有多种定义方法，记作sin x。

余弦是什么意思呢？很简单，就是余角的正弦，简称余弦。所以有cos x=sin（½π-x）。

正弦和余弦相比得到正切函数tan x，余弦和正弦相比，也就是上下颠倒就得到余切函数cot x。

你看，虽然三角函数有好几个，但是都可以从正弦出发产生出来。了解了正弦，就都了解了。

抓住一点带动全局，这是数学里常用的方法。

正弦函数有多种定义方法。课本里说，在直角三角形中，锐角A的正弦等于A的对边比斜边。这是最普通的定义。这个定义在解几何题和三角计算时很方便。

欧拉的定义极为科学，把锐角正弦直接推广到任意角。

还可以用边长为1的菱形的面积来定义正弦，如果它有一个角为α，它的面积就是sin α。由此马上推出，如果两角α和β互补，则sin α和sin β是同一个菱形的面积，所以sin α=sin β，即sin（180°-α）=sin α。

边长为1的菱形面积为sin α

学会了计算正方形面积的方法，可以推导出长方形的面积公式。同理，把平行四边形面积与菱形面积联系起来，就可以推导出平行四边形面积公式：

平行四边形面积公式

上图所示的公式告诉我们，如果平行四边形有两条邻边分别为a、b，形成的夹角为α，则平行四边形面积为absin α。

我们省略了a、b为一般实数时的证明。如果a、b都是有理数，这个公式的正确性很容易从a、b为整数的情况导出。

从单位正方形面积出发推导出长方形面积公式，同理，从单位菱形面积出发，推导出平行四边形面积公式。

把三角形△ABC看成半个平行四边形，可得已知两边及夹角的三角形面积公式：

S=½bcsin A=½acsin B=½absin C。

现在，我们有了一个求三角形面积的新公式，知道了三角形的两条边和所夹的角，就能计算其面积。

新公式的好处是把长度、角度和面积3种几何量联系起来了，这个公式不仅能够计算面积，还能够用来研究图形的性质．

为了计算面积，引进一个新名词“正弦”和记号“ sin ”，在继续学习数学的过程中，你会认识到它是一个非常重要的角色。

现在我们对这个新记号知之甚少。对于不了解或了解不多的东西，先起个名字再说，这是思考数学问题的高级策略，是准备打持久战的策略。有了名字就能写出公式，就能方便地讨论，新认识的朋友要交换名片，互相知道了名字就好联系，就便于进一步的合作交往了．

把上式两边同用½abc除，得到：

用菱形面积定义正弦是一个很棒的数学模型。它像一枚青橄榄，令人回味无穷。隐隐约约中，领悟到正弦是折扣是打折，是射影。

菱形的角变成直角，因为直角的正弦是1，所以正方形面积为1，不打折。如果角为α<90°，就要打折，折扣是sin α。例如角为30°时，菱形面积打五折，因为

sin α=sin 30°=0.5。

为什么说正弦是射影呢？请看下图：

在直角三角形△ABC中，假设斜边为1，那么对边就是斜边在y轴方向的射影，称为正弦;邻边就是斜边在x轴方向的射影，称为余弦。

由勾股定理可得，

sin² α cos² α=1

而且由图形可以直观地看出正弦函数在0°～90°之间的增减性：当角A增大，正弦单调递增，余弦单调递减;当角A减小，正弦单调递减，余弦单调递增。

把锐角的正弦推广到任意角的正弦，一般是用欧拉的模型来作说明：三角函数就是函数线和圆的半径之比。如果圆是单位圆，则可以大大简化三角函数。

正弦函数的力量

让我们来做几道题，从中感受一下正弦函数的力量。

例题1

请看上图，Rt△ABC中，C是直角，AC=6，BC=8，CD是AB边上的高。请用正弦函数求CD。

分析：这个题目小学数学可以用面积法求高。本题考察的是正弦函数的概念和运用。图形添加了高线CD后，由一个直角三角形变成了三个面积不等到直角三角形。容易判断，这三个直角三角形彼此之间都是相似三角形。

题目解答请看下图。

本题给我们的启示：

相似三角形对应角相等，对应线段成比例。这句话有丰富而深刻的内涵。

本题的△ACD∽△ABC。相似三角形可以看成是一种变换。从前者变成后者，过程中有变与不变。变的是对应线段成比例（相似比）放大或缩小，不变的是对应角。也就是一个很简单的道理，放大镜可以放大边长，但是不能放大角度。

由本题可知，正弦与角度有关，与三角形的大小无关。因为相似三角形的知识告诉我们，在一系列的相似三角形中，对边与斜边的比值始终不变。

例题2

利用正弦函数的概念，把小学数学的三角形面积公式改写成含正弦的三角形面积公式。

分析：题目的关键是用含正弦的表达式代替高。请看下图：

由上图可知，边a对角A，所以，sin A等于h₂比c，等于h₃比b;边b对角B，所以，sin B等于h₁比c，等于h₃比a;边c对角C，所以，sin C等于h₂比a，等于h₁比b。

由以上可以推出h₁=csin B=bsin C，同理，h₂=csin A=asin C，h₃=bsin A=asin B

上图已经列出了小学数学的三角形面积公式，用含正弦的式子替换高，就得到答案见下图：

通过这道例题，不仅仅是得到一个公式那么简单。这个已知两边和夹角的三角形面积公式意义重大，它把面积、长度和角度等几何量联系起来了，深刻地揭示了三角形的边角关系。

这个公式也可以这样解读：已知两边和夹角，求这个三角形的面积。怎么算呢？先把它按照长方形面积的一半来算，算出来的答案需要修正，夹角的正弦就是修正系数，也就是说，相比长方形面积的一半，还要打个折，折扣就是夹角的正弦。

例题3

例题2的推论。从例题2得到的三角形面积公式出发，可以推导出以下结论：

（1）式是三角形面积公式，（2）式的R是三角形外接圆半径。把（2）式代入（1）式得，

上图的（3）式是又一个三角形面积公式。把（3）式的两边同乘以4，得到（4）式，再变形，整理后得到的（5）式是又一个关于三角形外接圆半径的公式。

从（1）式出发，我们得到了（3）式和（5）式两个推论。

例题4

已知两边和夹角，求第三边。这种情况解三角形一般是用余弦定理，只用正弦函数能解出来吗？

正弦函数的力量，超越你的想象。接下来请看苏联科普作家别莱利曼在《趣味几何学》中的精彩解法。

（题）为了计算湖的宽度 AB （图94)，你已经在 C 点用指南针测出 CA 线偏西21°, CB 线偏东22°。 BC=68米， AC=35米。求湖的宽度AB。

上图揭示了别莱利曼的解题计划。计算sin43°，求出AD后用勾股定理求出CD。BC-CD=BD，已知BD和AD，用勾股定理求出AB。作者乘胜追击，继续求出另外两个角，还示范了钝角三角形的解法。

解：三角形 ABC 中，我们已经知道了一个43°的角和组成这个角的两条边的长度——68米和35米。作 AD （图94右）；得：sin43°= AD比AC。 现在，暂不管它，而去计算sin43°的值，得0.68。可知， AD比

AC=0.68, AD=0.68×35=24。然后计算 CD：

CD²= AC² - AD² =35²-24²=649,

CD =25.5;

BD = BC - CD =68-25.5=42.5。

现在，从三角形 ABD 得：

AB²= AD² BD²=24² 42.5²=2380;

AB≈49。

因此，所求的湖宽大约49米。

假如三角形 ABC 中还需要算出另两个角的值，那么，求出 AB =49后，可以这样做法：

用微软数学计算，结果如下：

得到的角度是弧度，转化为角度，结果如下：

约等于29°。

至于第三个角 A ，可以由180°减去两个角29°和43°的和求得：

角 A =108°。

在方才说的三角形解法（根据两边和夹角）中，已知的角或许不是锐角，而是钝角。举例来说，假如三角形 ABC （图95）中知道了一个钝角 A 和两条边 AB 和 AC 的长度，那其他各值的计算法和前面也完全相同：作高 BD ，从三角形 BDA 求出 BD 和 AD ，然后知道了 DA AC ，就可以求出 BC ，以及从BD比BC的比值求出 sin C 。

图95钝角三角形的解法。

例题5

特殊角的正弦函数值的计算。用学生文具盒里的三角板推算特殊角的正弦。

1°不是特殊角，但是我们可以计算出sin1°的近似值。

单位圆的半径为1，用1°圆心角所对圆弧的弧长代替线段来做近似计算，因为角度小，所以误差很小。令所求弧长=sin1°，得2π÷360=π÷180=\frac{\pi }{180}\approx 0.017453293

用微软数学计算sin1°，结果如下：

对比一下，近似值的误差出现在小数点后第六位。

科学计算器是怎样计算三角函数的呢？同学们以后在大学学习了微积分就知道了，泰勒级数计算正弦函数，如下图所示：

举个例子，用它计算sin1°，取

只取前两项，误差小于

够准的了。

顺便说一下，sin1°是超越数。

请看下图：

如果AD是△ABC的高，D在BC上，∠BAD=α，∠CAD=β，从显然的等式

△ABC面积=△ABD面积 △ACD面积

出发，马上得到正弦和角公式：

sin(α β)=sin αcos β cos αsin β

这是一个关于正弦函数的最最重要的三角恒等式。

如果你不知道余弦，可以把上式改写成：

sin(α β)

=sin α·sin(90°-β) sin β·sin(90°-α)

有了这个公式，就有了许多三角恒等式。从它出发，就可以编造正弦函数表。最早的三角函数表就是用这个公式编造的。顺便说一下，古希腊人是用托勒密定理推导出正弦和角公式的。这也反映了三角和几何的紧密联系。

引进正弦函数的意义

我们做的第一件大事，是为了计算三角形面积而进正弦．醉翁之意不在酒，引进正弦建立面积公式的目标，不仅仅限于求面积，而要宏伟远大得多、有了正弦，就可以顺势引入其他三角函数，方便快捷地推出大量几何知识，为函数、向量、解析几何、复数等知识的学习做必要的准备，建起由初等数学通向高等数学的桥梁，从一开始就引进正弦，是有战略意义的

引进正弦，同时也就引进了一种数学思想，即对应的思想，函数的思想．

从小学到初中，所遇到的数学问题，都是从已知数出发经过确定的运算而获取答案的。正弦的引进，打破了这个惯例。已知角 A ，我们虽然知道一定有一个对应的数叫做 sinA ，但是不知道对已知的 A 的度数做什么运算才能得到 sinA 的数值！我们仅仅知道，如果 A 的度数确定了， sinA 的数值也就确定了，也就是说，仅仅知道从 A 到 sinA 有一个确定的对应关系，仅仅根据有这个确定的对应关系，就能写出公式，就能推出一系列的几何知识，这显示出“确定的对应关系”这个思想的力量！以后知道，“确定的对应关系”就是函数关系，对应的思想，即函数的思想，是极为重要的数学思想。引进一个正弦，尽管对它几乎一无所知，它却能帮我们的大忙、在这里我们初步体会到函数思想的力量。

对于暂时知之不多的东西，不妨先起个名字，有了名字便于讨论演算，就能更多地了解它，这是方程的思想，本来好像还没有的东西，描述一下，起个名字就能“无中生有”，就把一个新的东西建构出来了，这种思考方法，也可以叫做建构思维方法。数学家解决问题，常常要建构一个东西来研究．当然，在数学家看来，所建构的东西是客观存在的，起个名字就是划个范围，把要研究的东西凸显出来，并非无中生有。

有了正弦的概念，有了 sinA 的记号，接着要做两方面的事。一方面是利用正弦来探索几何问题，获取几何知识；另一方面是对正弦的性质做更深入的研究。这两个方面是相辅相成和相互促进的．

我们可以看出利用正弦获取儿何知识的基本思路是建立方程。含有正弦的面积公式中包含了好几个等式，每个等式都可以看成一个方程，方程里面有好几个量，把有些量赋予具体的值，又把有些量看成未知数，再把未知数解出来，就得到了新的知识。

这不，取一个角为直角就得到了方程（3-1)，把 sinA 和 sinB 看成未知数解出来，就得到了直角三角形中成立的公式（3-2）和（3-3)，即命题3.1：直角三角形中锐角的正弦等于对边比斜边，用这些知识就能解直角三角形，就能解决实际中可能遇到的测量问题。用中国古话说，就是有了量天度地之术．

第四节里，进一步提出了解任意三角形的问题。这一节刚开始，略施代数小技，就把面积公式变成了正弦定理.从这里看到对字母进行运算是多么有用！正弦定理虽然得来全不费功夫，但它简直是一个宝藏，从里面能够开掘出不少有用的东西，它使得两种情形下解三角形的问题得到解答。

特别收录

最后送上数学辞海第一卷介绍三角函数的一些内容。

参考书目：

1.《趣味几何学》，别莱利曼。

2.《漫话数学》，张景中，任宏硕。

3.《数学杂谈》，张景中。

4.《数学辞海》第一卷。

5.《一线串通的初等数学》，张景中。

感谢追光课堂，这样的优质偶像，再来两打吧！

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