中考特殊角的三角函数值（中考热点辅助圆搭台）

锐角三角函数是中学数学的重要内容之一，三角函数最本质的数学问题就是角与线段架起桥梁；而角是圆的主要元素之一．这样三角函数与圆有了无缝的对接，也使得它们在中考试题中也有了完美的遇见．在一些数学题中，看似与圆毫无关系且用常规的解题方法却不好甚至无法解决的问题，而通过题中的某些条件构造辅助圆，运用圆的知识进行解答，往往就会使题目简单化，从而使难题迎刃而解．下面来探析如何巧用辅助圆妙解几何题．

例1．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为 ，点O到AB的距离的最大值为_____ ．

【分析】当∠ABO＝90°时，点O到顶点A的距离的最大，则△ABC是等腰直角三角形，据此即可求解；点O到AB的距离的最大值＝10的一半 腰长5的等腰直角三角形底边上的高，依此列式计算即可求解．

【解答】如图，作AD⊥OB于D．

∵在Rt△ADO和Rt△ABD中，∠ADO＝∠ADB＝90°，

AD=AO sin∠AOB=AB sin∠ABO，∠AOB＝45°，

∴AB/ sin45° =AO/sin∠ABO，

∴当∠ABO＝90°时，点O到顶点A的距离的最大．则OA＝√2AB＝10√2．

点O到AB的距离的最大值为5 5√2．故答案是：10√2，5 5√2．

【点评】本题主要考查了正弦定理与余弦定理、等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键．

例2.如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2√3，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为______

【分析】当AP⊥BC时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，得出∠AED＝∠C＝45°，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得△AED∽△ACB，则AE/AC=ED/BC，设AD＝2x，表示出AE和AC的长，求出AE与AC的比，代入比例式中，可求出DE的值．

【解答】当AP⊥BC时，线段DE的值最小，

如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，∴∠AEP ∠ADP＝180°，

∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，

在Rt△PDC中，∠C＝45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD＝45°，

∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠PAD＝45°，

∴∠PED＝∠PAD＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠C＝45°，

∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴AE/AC=ED/BC，

设AD＝2x，则PD＝DC＝2x，AP＝2√2x，

如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO＝OE＝OP＝√2x，

∵∠EAP＝∠BAC﹣∠PAD＝60°﹣45°＝15°，∴∠EOP＝2∠EAO＝30°，

【点评】本题考查了四点共圆的问题，四点共圆的判定方法有：①将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆．②连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆；通过四点共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等，从而证得三角形相似，得比例式，使问题得以解决．

例3. 已知直线y＝3/4x b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D在x轴正半轴，且OD＝6，点C，M是线段OD的三等分点（点C在点M的左侧）

（1）若直线AB经过点（4，6）

①求直线AB的解析式；

②求点M到直线AB的距离；

（2）若点Q在x轴上方的直线AB上，且∠CQD是锐角，试探究：在直线AB上是否存在符合条件的点Q，使得sin∠CQD＝4/5？若存在，求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）①利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；

②根据相似三角形对应边成比例求得即可．

（2）作CE⊥CD，且CE＝3，因为CD＝4，根据勾股定理得出DE＝5，所以sin∠CED＝4/5，如果AB与x轴上方的优弧相交，交点为Q，根据同弧所对的圆周角相等，则∠CQD＝∠CED，则sin∠CQD＝4/5，当AB经过E点时，点E即为Q点，根据三角形相似求得OB的值为3/2，即可求得b的取值．

【解答】（1）①∵直线AB经过点（4，6），

∴6＝3/4×4 b，则b＝3，∴直线AB的解析式为y＝3/4x 3．

②如图1，设点M到直线AB的距离为MN，

由直线AB的解析式为y＝3/4x 3可知A（﹣4，0），B（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，

∵OD＝6，点C，M是线段OD的三等分点，∴AM＝4 4＝8，

∵∠BAO＝∠MAN，∠AOB＝∠ANM＝90°，∴△AOB∽△ANM，

∴MN/OB=AM/AB，∴MN＝AM··OB/AB=8×3/5=24/5．

（2）存在；在CD的垂直平分线上取点I（4，1.5）

以I为圆心，ID为半径作圆，则⊙I必过点C，

在Rt△MID中，由勾股定理，得：ID＝2.5，sin∠MID＝MD/ID=4/5，

当直线AB与⊙I相切（切点在第一象限）时，直线AB上存在唯一一个符合条件的点Q（切点），使得sin∠CQD＝4/5（∠CQD＝∠MID），此时设CD的垂直平分线交直线AB于点N，

在直线y＝3/4x b中，令y＝0，则x＝﹣4/3b，∴OA＝4/3|b|，令x＝0，则y＝b，∴OB＝|b|，由勾股定理，得：AB＝5/3|b|．

∵∠QNI＝ABO，∠IQN＝∠AOB＝90°，∴△IQN∽△AOB，

【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，三角形相似的判定和三角函数等，（2）作出直角三角形CDE和三角形的外接圆是解题的关键．根据题干中条件画出辅助圆，圆的性质:圆心必在线段CD的垂直平分线上是解答本题关键，可见辅助圆对题目的综合分析起了很大的作用．其中需要特别注意的是，圆有两个．

解题反思：在解答几何问题时，如若发现运用常规方法不能解决问题或是解决过程比较繁琐，此时可以通过仔细审题，挖掘题干中与圆有联系的条件(特别是线段与张角问题)，从而做出辅助圆进行分析解题，这样可使解题柳暗花明，另辟蹊径，化难为易，令问题的解答耳目一新，这样构建辅助圆的关键就是善于捕捉题干的细节之处，要在平时的学习中勤总结，多揣摩，不难做到遇到类似情况可尝试应用．

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