滑轮的平衡方程（分析滑轮运动探讨功的定义）

［摘 要］滑轮及滑轮组是初中物理的重要内容，也是学生容易迷糊的内容。文章结合教学实践，对通过滑轮拉着重物向上、向下运动的拉力进行比较，找出拉力做功及克服重力做的功，进而完善总功的定义，并推广到斜面、杠杆使重物下降时机械效率的表达式。

［关键词］滑轮组；摩擦力；总功；机械效率

一、使重物向上、向下运动的拉力对比

现行初中教材上机械效率是通过讨论动滑轮提升重物来导入的，将钩码提升一定的高度是我们的目的，所做的功叫作有用功。在此过程中还需克服摩擦力及动滑轮重力做功，这两部分功虽然并非我们所需要的，但又不得不做，叫作额外功。手拉绳所做的功叫作总功。这是苏科版物理教材对有用功、额外功、总功的定义。本文主要对滑轮向上、向下运动进行对比，进而完善功的定义。

1.通过定滑轮使重物向上、向下运动

如图1 和图2 所示，滑轮上的摩擦主要分为两种，绳与滑轮之间的摩擦为静摩擦；滑轮转动时，滑轮与轮轴之间的摩擦为滑动摩擦。首先以定滑轮为例，当在力T1作用下使重物匀速上升时，要让滑轮匀速转动，故绳子给滑轮的摩擦力沿顺时针方向，滑轮给绳子的摩擦力沿逆时针方向。对绳子进行受力分析知，T2的大小与物体重力相等，T1、T2、f 三个力平衡，故有T2 f=T1。T1＞T2，据定义，η=T2/T1，η＜100%。

当在T1′作用下使重物匀速下降，要让滑轮匀速转动，则绳子给滑轮的摩擦力沿逆时针方向，滑轮给绳子的力沿顺时针方向。对绳子进行受力分析，有T1′ f=T2′。T2′＞T1′，若按提升时的定义，有用功为T2′h，总功为T1′h，会发现有用功大于总功，机械效率高于100%，与之前的结论相悖。

从能量转化的角度考虑，物体减小的重力势能转化为轮轴处摩擦力做的功与克服T1′所做的功之和。向上运动与向下运动相比，滑动摩擦力、静摩擦力与物重均相同。易知拉力T1＞T1′，T2=T2′，均使物体匀速运动，向上运动比向下运动施加的拉力更大。

另外，可以比较两图中静摩擦力的大小关系，轮轴处粗糙程度相同，压力包含定滑轮重与绳子向下的拉力之和，T1＞T1′、T2=T2′，向下拉动时定滑轮给轮轴处的压力更大，故轮轴处滑动摩擦力更大。将滑轮看作杠杆，杠杆受到的静摩擦力为动力，滑动摩擦力为阻力，向上、向下匀速转动，动力臂、阻力臂均不变，重物向上运动时，阻力更大，故动力更大，即f＞f′。

图1

图2

2.通过动滑轮使重物向上、向下运动

如图3 和图4 所示，在T1的作用下使重物匀速上升，绳子给滑轮的摩擦力沿逆时针方向，滑轮给绳子的力沿顺时针方向。η=G/2T1，η＜100%。以下分析过程同上，当重物匀速下降时，T1′ f=T2′，故T1′＜G总/2，亦会发现有用功大于总功，与之前的结论相悖。从能量的角度考虑，物体与滑轮减小的总重力势能转化为克服轮轴处摩擦力做的功与克服T1′所做的功之和。同样，易知拉力T1＞T1′，T2＜T2′，均使物体匀速运动，向上运动比向下运动施加的拉力更大。

比较两图中摩擦力的大小关系，首先分析动滑轮上的动摩擦力，轮轴处粗糙程度相同，压力大小跟物重与动滑轮重之和相同，故滑动摩擦力相同。

图3

图4

3.通过滑轮组使重物向上、向下运动

如图5和图6所示，对滑轮组，同样可以用相同方法进行分析。分析方法同上，易得，当使重物匀速上升时，T2=T1 f1，T3=T2 f2，则T3＞T2＞T1，η=G/3T3，η ＜100%；当使重物匀速下降时，T1′=T2′ f1′，T2′=T3′ f2′，则T1′＞T2′＞T3′，η=G/3T3，η＞100%。依旧与之前的结论相悖。比较向上运动与向下运动的拉力T3′与T3的大小关系，T3′＜T3，可以得到相同的结论，利用滑轮组使重物匀速向上运动比向下运动施加的拉力更大。实验中可得到相同结论。

另外，可以分别比较T1与T1′、T2与T2′、T3与T3′的大小关系，比上面两种滑轮绳子的受力情况复杂一些。动滑轮重、物重、轮轴处粗糙程度相同，所以动滑轮受到的滑动摩擦力相同，再将两动滑轮看作杠杆，阻力（即轮轴处受到的滑动摩擦力）、阻力臂、动力臂均相同，因此动力（即静摩擦力）f2相同。两边三股绳子的力之和为物重与动滑轮重之和，T3′＜T3，T1′ T2′＞T1 T2，经历与上面相同的分析过程，可得到f1＜f1′。利用T2=T1 f1，T3=T2 f2，T1′=T2′ f1，T2′=T3′ f2，T1 T2 T3=T1′ T2′ T3′，化简可得3T2 f2-f1=3T3′ f1- f2，因此T2＞T2′，又因为T3＞T3′，故T1＜T1′。至此，向上、向下运动的滑轮组受力大小关系分析完毕。

图5

图6

二、总功的定义

从以上分析可以看出，不论是定滑轮、动滑轮、滑轮组，使重物向上运动的拉力都比使其向下运动的拉力更大。若是按照苏教版九年级上册中对有用功、总功的定义，在使重物平稳向下运动时，会出现机械效率大于100%的情况，如此会使学生混淆机械效率以及能量守恒的认知。从能量的角度来看，总功也意味着总输入功，即总能量。物体向上运动时，需克服物体自重、机械自重；物体向下运动时，机械自重、物体自重做正功，有助于物体运动，拉力起到使机械平稳运行的效果。故机械所受到的力可分为两类，促进机械运动的力与阻碍机械运动的力，两种力做的功大小相等，一类做正功，一类做负功。为避免出现机械效率大于100%的情况，笔者建议将总功的定义完善为：促进机械平稳运行的所有力做功之和。

三、实例分析

对于滑轮提升重物的情况，拉力即为促进机械运行的力，拉力做功为总功，与教科书定义完全吻合。利用机械提升重物的有用功、总功和机械效率就不再一一赘述。对于使物体平稳下降的滑轮将做以下讨论，首先利用定滑轮使物体下降，物体重力做功即为总功，总功等于有用功，机械效率为100%，即无须施加外力，便可往期望的方向运动起来，F 只是起到平稳运行的效果，效率为100%，使之运动的力即物体自己的重力；其次利用动滑轮与滑轮组使物体下降时的情况相同，动滑轮重力与物体重力做功之和即为总功，或克服动摩擦力与拉力做的功为额外功，物体重力做功为有用功，η=G物/（G物 G动）。

利用斜面使重物平稳下降时，当外力沿斜面向下时总功为物体重力做功与拉力做功之和，或者总共为克服摩擦力做功，η=G物h/（G物h Fs）=G物h/fs；当外力沿斜面向上时，总功与有用功均为Gh，效率为100%，与上例中利用定滑轮使重物下降的情况相同。利用杠杆使重物平稳下降时，总功为杠杆重力做功与物体自重做功之和，η=G物h/（G物h G杠杆h′）。

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文/王语益 江苏苏州高新区实验初级中学（215000）