高等数学微分方程总结笔记（数学笔记-同济第七版高数）

（1）求出函数的定义域（2）考察函数奇偶性、增减性，下面我们就来聊聊关于高等数学微分方程总结笔记?接下来我们就一起去了解一下吧!

高等数学微分方程总结笔记

（1）求出函数的定义域

（2）考察函数奇偶性、增减性

（3）求出方程f'(x)=0的根以及使f'(x)不存在的点，列表判别函数的增减区间与极值点

（4）求出方程f''(x)=0的根，列表确定函数凹凸性与拐点

（5）求出函数的渐近线

（6）计算几个点的函数值，画出图形

1、水平渐近线

若：lim(x->∞)f(x)=A, 称y=f(x)有水平渐近线y=A

2、铅直渐近线

若：lim(x->a)f(x)=∞, 称y=f(x)有铅直渐近线x=a

3、斜渐近线

若：lim(x->∞)[f(x)/x]=a (≠0,∞)

lim(x->∞)[f(x)-ax]=b, 称y=ax b为函数的斜渐近线

例1：求y=[(x^2-3x 2)/(x^2-1)]的渐近线 lim(x->∞)f(x)=1, 所以y=1为水平渐近线 lim(x->-1)f(x)=∞,所以x=-1为铅直渐近线 lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-2)/(x 1)]=-1/2, x=1不是铅直渐近线

例2：求y=(x^3-x)/(x^2-x-2)的渐近线 lim(x->∞)y=∞, 所以没有水平渐近线 lim(x->-1)y=-2/3, 所以x=-1不是铅直渐近线 lim(x->2)y=∞, 所以x=2是铅直渐近线 lim(x->∞)y/x=1, lim(x->∞)(y-x)=1 所以y=x 1为斜渐近线

Δs是函数图像上的一段线，对应长度是点(x0,y0)到点(x0 Δx,y0 Δy)的那段曲线，在微观情况下：(Δs)^2≈(Δy)^2 (Δx)^2

=>(ds)^2=(dx)^2 (dy)^2

=>ds=√[(dx)^2 (dy)^2]，ds称为弧微分或者弧元素

扩展：

ds=√[(dx)^2 (dy)^2]

=√[1 (dy/dx)^2]dx

=√[1 f'(x)^2]dx