三角形欧拉公式推导(你知道欧拉是如何推导出欧拉公式的吗)

棣莫弗公式是初等数学的基本内容,如下,我们很容易用基本的运算得出。棣莫弗公式之所以非常有名,在于它得到了数学中许多非常重要的结论,欧拉也将棣莫弗公式的作用发挥的淋漓尽致,本篇就来谈谈欧拉是如何从棣莫弗公式推导出欧拉公式的

三角形欧拉公式推导(你知道欧拉是如何推导出欧拉公式的吗)(1)

棣莫弗公式由三角函数组成,所以任意形式的三角函数都可以用棣莫弗公式表示出来,如下正弦函数sinnz和余弦函数cosnz的表示形式如下图所示

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我们继续延伸,首先想象下,一个无穷大乘上一个无穷小可以看做一个常数,这是容易理解的,即n为无穷大,z为无穷小时。nz=v就是一个常数,为了直观我们用i表示无穷大数n

,所以就有了sinz=v/I,cosz=1,这是两个非常重要的结论,

三角形欧拉公式推导(你知道欧拉是如何推导出欧拉公式的吗)(3)

我们已经知道了e的极限形式,当i是无穷大时,有

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所以上式中的z= V√-1和-V√-1,所以上式就可以化简成

三角形欧拉公式推导(你知道欧拉是如何推导出欧拉公式的吗)(5)

欧拉就由此得到了著名的欧拉公式,这是一个非常伟大的发现

三角形欧拉公式推导(你知道欧拉是如何推导出欧拉公式的吗)(6)

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