怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)

在中学《几何》中,甚至在小学《算术》中,我们都知道半径为R的圆的周长C=2ԅR,其中ԅ是圆周率,是常数。

那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢?

一、极限思想和方法在定义圆的周长上的应用

我们会用直尺度量线段的长,从而也就会度量多边形的周长,因而多边形的周长是己知的。

但是在圆中圆周是一条封闭曲线,无法用直尺直接度量它的长。

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(1)

图(1)

这样就出现了一个新问题:何谓圆的周长?也就是,怎样定义圆的周长?这是计算圆的周长的基础。

圆的周长是个未知的新概念。

我们知道,未知新概念必须建立在己知概念的基础之上。

那么怎样借助于已知的多边形的周长定义圆的周长呢?

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(2)

图(2)

我国古代杰出的数学家刘徽创立了的“割圆术”,就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列定义了圆的周长。

其作法是:

首先作圆的内接正六边形,其次平分每个边所对的弧,作圆的内接正十二边形,以下用同样的方法,继续作圆的内接正二十四边形,圆的内接正四十八边形 ...... 如图(3)所示。

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(3)

图(3)

显然,不论正多边形的边数怎样多,每个圆的内接正多边形的周长都是已知的。于是,得到一串圆的内接正多边形的周长数列:

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(4)

图(4)

其中通项

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(5)

图(5)

表示第 n 次作出的圆的内接正

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(6)

图(6)

边形的周长 。

那么这一串圆的内接正多边形与该圆周是什么关系呢?

刘徽说:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣” 。

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(7)

图(7)

很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近于该圆周,即它们的极限位置就是该圆周。

从内接的正多边形的周长说,当 n 无限增大时,这一串圆的内接正多边形的周长数列

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(8)

图(7)

将渐趋稳定于某个数 L 。换句话说,“割之弥细”,用圆的内接正多边形的周长近似代替圆的周长,而圆的周长“所失弥少”,当“割之又割,以至于不可割”,即圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”,此时,这一串圆的内接正多边形的周长数列

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(9)

图(8)

稳定于某个数 L ,L 就应该是该圆的周长

只有在无限的过程中,才能真正作到“无所失矣”。

根据上述分析:

圆的周长可以这样定义:若圆的内接正多边形的周长数列

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(10)

图(9)

稳定于某个数“L”(当n无限增大时),则称“L”是该圆的周长。

因此在无限过程中,由直边形的周长数列得到了曲边形的周长,这就是极限的思想和方法在定义圆的周长上的应用

二、数列的极限

定义:设有数列 {an} ,a 是常数 。若对任意 ε > 0 ,总存在自然数 N ,对任意的自然数 n > N ,有

an - a∣ < ε ,

则称数列 {an} 的极限是 a (或 a 是数列 {an} 的极限)或数列 {an} 收敛于 a ( {an} 是收敛数列),表示为

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(11)

图(10)

若数列 {an} 不存在极限,则称数列 {an} 发散 。

ε —— N 语言定义数列极限的定义:

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(12)

图(11)

例题1、证明

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(13)

例题1图(1)

证明

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(14)

例题1图(2)

解得 n > 1/ε -1 . 取 N = [ 1/ε -1 ] . 于是 ,

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(15)

例题1图(3)

收敛数列的性质:

定理1、(唯一性)若数列 {an} 收敛,则它的极限是唯一的 。

定理2、(有界性)若数列 {an} 收敛,则数列 {an} 有界 ,即

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(16)

定理2图

定理3、(保序性)

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(17)

定理3图

收敛数列的四则运算

定理4、若数列 {an} 与 {bn} 都收敛,则和数列 {an bn} 也收敛 。

定理5、若数列 {an} 与 {bn} 都收敛,则乘积数列 {anbn} 也收敛 。

定理6、若数列 {an} 与 {bn} 都收敛,且 bn ≠ 0 , bn 的极限也不等于0 , 则商数列 {an / bn} 也收敛 。

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(18)

收敛数列的四则运算图

收敛数列的判别法

定理7、(两边夹定理)设 {an} , {bn} , {cn} 是三个数列 。

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(19)

定理7图

公理(实数连续性)单调有界数列存在极限 。

定理8、(柯西收敛准则)

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(20)

定理8图

三、函数的极限

1、当 x →∞ 时,函数 f(x)的极限

定义:设函数 f(x)在 {x∣ ∣x∣> a} 有定义,b 是常数 。

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(21)

函数极限图(1)

称函数 f(x)(当 x → ∞ 时)存在极限或收敛极限是 b ,或收敛于 b ,表为

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(22)

函数极限图(2)

注:当自变数 ∣x∣无限增大时,有两种情况:一是 x → -∞ ;二是 x → ∞ ,极限的分析语言有所表示不同。

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(23)

函极限图(3)

例题2、证明

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(24)

例题2图(1)

证明:

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(25)

例题2图(2)

解得 x < lgε(限定 0 < ε < 1),取 A= -lgε > 0 。于是 ,

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(26)

例题2图(3)

2、当 x → a 时,函数 f(x)的极限

定义:设函数 f(x)在邻域

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(27)

函数极限图(1)

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(28)

函数极限图(2)

则称函数 f(x)(当 x → a 时)存在极限,极限是 b ,或 b 是函数 f(x)在 a 的极限,表为

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(29)

函数极限图(3)

这就是函数在一点极限的 ε——δ 定义 。

注:函数 f(x)在 a 的极限和在 a 左、右极限的区别,列表如下

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(30)

函数极限图(4)

例题3、证明

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(31)

例题3图(1)

证明:

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(32)

例题3图(2)

解得 ∣x - 1∣ < ε/2 ,取 δ = ε/2 . 于是 ,

怎么区别函数极限与数列的极限(函数与数列的极限)(33)

例题3图(3)

,

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