高中数学三角函数知识网络图（高中数学小题专练）

肖博数学小题专练·(七) 三角函数的图象与性质，下面我们就来聊聊关于高中数学三角函数知识网络图?接下来我们就一起去了解一下吧!

高中数学三角函数知识网络图

肖博数学小题专练·(七) 三角函数的图象与性质

一、选择题

1.下列函数中，最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是

( )

A.y=cos











2x

π

2

B.y=sin











2x

π

2

C.y=sin2x cos2x D.y=sinx cosx

答案 A

解析 y=cos











2x

π

2 =-sin2x，最小正周期 T=

2π

2 =π，且为奇

函数，其图象关于原点对称，故 A 正确;y=sin











2x

π

2 =cos2x，最

小正周期为 π，且为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故 B 不正确;C、

D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C、D 不正确。

2.(2017·海南联考)已知 f(x)=2sin











2x

π

6 ，若将它的图象向右平

移

π

6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)图象的一条对称

轴的方程为( )

A.x=

π

3

B.x=

π

4

C.x=

π

6

D.x=

π

12

答案 A

解析 f(x)=2sin











2x

π

6 ，若将它的图象向右平移π

6个单位长度，

得到函数 g(x)=2sin











2













x-

π

6

π

6 =2sin











2x-

π

6 的图象，令 2x-

π

6=kπ

π

2，k∈Z，求得 x=

kπ

2

π

3，故函数的图象的一条对称轴的方程为 x

2

=

π

3，故选 A。

3.(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=

1

5

sin











x

π

3 cos











x-

π

6 的最大值为

( )

A.

6

5

B.1

C.

3

5

D.

1

5

答案 A

解析 因为 cos











x-

π

6 =cos























x

π

3 -

π

2 =sin











x

π

3 ，所以 f(x)=

6

5

sin











x

π

3 ，于是 f(x)的最大值为6

5，故选 A。

4.若 f(x)=sin(2x φ) b，对任意实数 x 都有 f













x

π

3 =f(-x)，

f











2π

3 =-1，则实数 b 的值为( )

A.-2 或 0 B.0 或 1

C.±1 D.±2

答案 A

解析 由 f













x

π

3 =f(-x)可得 f(x)的图象关于直线 x=

π

6对称，∴

2×

π

6 φ=

π

2 kπ，k∈Z。当直线 x=

π

6经过最高点时，取 φ=

π

6;当直

线 x=

π

6经过最低点时，取 φ=-

5

6

π。若 f(x)=sin











2x

π

6 b，由 f











2 

3

π =

-1，得 b=0;若 f(x)=sin











2x-

5

6

π b，由 f











2 

3

π =-1，得 b=-2。

所以 b=-2 或 b=0。

5.将函数 f(x)=sin











2x

π

6 的图象向左平移 φ













0<φ≤

π

2 个单位长

度，所得的图象关于 y 轴对称，则 φ=( )

3

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

2

答案 A

解析 将函数 f(x)=sin











2x

π

6 的图象向左平移 φ













0<φ≤

π

2 个单位

长度，得到的图象所对应的函数解析式为 y=sin











2(x φ)

π

6 =

sin











2x 2φ

π

6 ，由题知，该函数是偶函数，则 2φ

π

6=kπ

π

2，k∈Z，

又 0<φ≤

π

2，所以 φ=

π

6，选项 A 正确。

6.(2017·甘肃兰州一模)函数f(x)=sin(ωx φ)













x∈R，ω>0，|φ|<

π

2

的部分图象如图所示，如果 x1 x2=

2π

3 ，那么 f(x1) f(x2)=( )

A.

3

2

B.

2

2

C.0 D.-

1

2

答案 C

解析 由题图知，T=π，ω=2，∴f(x)=sin(2x φ)，将









π 

3，0 代

入函数，根据 φ 的范围，得 φ=

π

3，∴f(x)=sin











2x

π

3 。∵图象关于









π 

3，0

4

中心对称，x1 x2=

2π

3 ，∴x1，x2的中点为π

3，则 f(x1) f(x2)=0。

7.(2017·哈尔滨一模)已知函数 f(x)= 3sinωx cosωx(ω>0)，y

=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f(x)的单

调递增区间是( )

A.











kπ-

π

12，kπ

5π

12 ，k∈Z

B.











kπ

5π

12，kπ

11π

12 ，k∈Z

C.











kπ

π

6，kπ

2π

3 ，k∈Z

D.











kπ-

π

3，kπ

π

6 ，k∈Z

答案 D

解析 因为 f(x)=2sin











ωx

π

6 ，所以最小正周期 T=

2π

ω。又由题

设可知 T=π，故 T=

2π

ω=π⇒ω=2，故 f(x)=2sin











2x

π

6 ，其单调递

增区间为 2kπ-

π

2≤2x

π

6≤2kπ

π

2，即 kπ-

π

3≤x≤kπ

π

6，k∈Z，故

选 D。

8.(2017·安徽宿州一模)将函数 f(x)=3sin











2x-

π

4 的图象先向左平

移

π

4个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，

则函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象( )

A.关于点(-2,0)对称

B.关于点(0，-2)对称

C.关于直线 x=-2 对称

D.关于直线 x=0 对称

答案 B

5

解析 将函数 f(x)=3sin











2x-

π

4 的图象先向左平移π

4个单位长度，

再 向 下 平 移 4 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 g(x) 的 解 析 式 g(x) =

3sin











2













x

π

4 -

π

4 -4=3sin











2x

π

4 -4=-3sin









 -2x-

π

4 -4=-f(-x)

-4，故两个函数的图象关于点(0，-2)对称，故选 B。

9.已知函数 f(x)=sin(ωx φ)













ω>0，|φ|<

π

2 的最小正周期为 π，且

其图象向右平移π

6个单位后得到函数 g(x)=sinωx 的图象，则函数 f(x)

的图象( )

A.关于直线 x=

5π

12对称

B.关于直线 x=

π

12对称

C.关于点









π 

12，0 对称

D.关于点









5π 

12，0 对称

答案 B

解析 依题意得 T=

2π

ω=π，ω=2，f(x)=sin(2x φ)，将 f(x)的图

象向右平移π

6个单位后得到函数 y=sin











2













x-

π

6 φ =sin2x 的图象，因

此 φ-

π

3=2kπ，k∈Z，φ=2kπ

π

3，k∈Z，又|φ|<π

2，因此 φ=

π

3，f(x)

=sin











2x

π

3 。f











5π

12 =sin











2×

5π

12

π

3 =-

1

2，f











5π

12 ≠±1 且 f











5π

12 ≠0，因

此 f(x)的图象不关于直线 x=

5π

12对称，也不关于点









5π 

12，0 对称。f











π 

12 =

sin











2×

π

12

π

3 =1，因此 f(x)的图象关于直线 x=

π

12对称，故选 B。

6

10.(2017·泉州模拟)已知函数 f(x)=2sin

x φ

2

cos

x φ

2 











|φ|<

π

2 ，且

对于任意的 x∈R，f(x)≤f











π

6 ，则( )

A.f(x)=f(x π) B.f(x)=f













x

π

2

C.f(x)=f











π 

3-x D.f(x)=f











π 

6-x

答案 C

解析 函数 f(x)=2sin

x φ

2

cos

x φ

2 =sin(x φ)













|φ|<

π

2 ，若对任意的

x∈R，f(x)≤f











π

6 ，则 f











π

6 等于函数的最大值，即π

6 φ=2kπ

π

2

(k∈Z)，

则 φ=2kπ

π

3，k∈Z，又|φ|<π

2，∴φ=

π

3，∴f(x)=sin











x

π

3 ，∴f(x)的周

期为 T=2π，A，B 错误;又 f(x)图象的对称轴是 x=kπ

π

6，k∈Z，C

正确，D 错误。故选 C。

11.(2017·全国卷Ⅰ)函数 y=

sin2x

1-cosx

的部分图象大致为( )

答案 C

解析 因为函数 f(x)=

sin2x

1-cosx

的定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，f(-

7

x)=

sin(-2x)

1-cos(-x)

=

-sin2x

1-cosx

=-f(x)，所以 y=

sin2x

1-cosx

为奇函数，其图

象关于原点对称，故排除 B;因为 f











π

2 =

sinπ

1-cos

π

2

=0，f











3π

4 =

sin

3π

2

1-cos

3π

4

=

-1

1

2

2

<0，排除 A;f(π)=

sin2π

1-cosπ

=0，排除 D。故选 C。

12.(2017·东北三校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx φ)(0<ω≤12，ω

∈N*,0<φ<π)图象关于 y 轴对称，且在区间









π 

4，

π

2 上不单调，则 ω 的可

能值有( )

A.7 个 B.8 个

C.9 个 D.10 个

答案 C

解析 由题知，f(x)为偶函数，f(0)=sinφ=±1，又 0<φ<π，所以

φ=

π

2，f(x)=sin











ωx

π

2 =cosωx。令 t=ωx，f(x)=cost，则 y=cost 在











π 

4

ω，

π

2

ω 上不单调。令 ω=1，y=cost 在









π 

4，

π

2 是单调减函数，所以

ω≠1;令 ω=2，y=cost 在









π 

2，π 是单调减函数，所以 ω≠2;令 ω

=3，y=cost 在









3 

4

π，

3

2

π 不单调，所以 ω=3 符合题意;令 ω=4，y

=cost 在[π，2π]是单调增函数，所以 ω≠4;依次类推，可得当 ω=

5,6，7，…，12 时均符合题意，所以 ω 取 3,5,6,7,8,9,10,11,12 时，f(x)

在









π 

4，

π

2 上不单调，所以 ω 的可能值有 9 个。

二、填空题

8

13.已知函数 f(x)=2sin(ωx φ)对任意的 x 都有 f











π 

6 x =f











π 

6-x ，

则 f











π

6 =________。

答案 ±2

解析 函数 f(x)=2sin(ωx φ)对任意的 x 都有 f











π 

6 x =f











π 

6-x ，

则其对称轴为 x=

π

6，所以 f











π

6 =±2。

14.函数 y=sin2x 与函数 y=tanωx 有相同的零点，则 y=tanωx

的单调递增区间为____________________。

答案 









 -

π

4

kπ

2 ，

π

4

kπ

2

(k∈Z)

解析 根据题意可知，y=tanωx 的周期为 y=sin2x 的周期的一

半，即 T=

1

2×

2π

2 =

π

2，∴ω=

π

T=2，∴y=tan2x。令-π

2 kπ<2x<

π

2 kπ(k

∈Z)，得 y=tan2x 的单调递增区间为









 -

π

4

kπ

2 ，

π

4

kπ

2

(k∈Z)。

15.函数 y=2sin









πx 

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为

________。

答案 2 3

解析 因为 0≤x≤9，所以-π

3≤

πx

6 -

π

3≤

7π

6 ，因此当

πx

6 -

π

3=

π

2时，

函数 y=2sin









πx 

6 -

π

3 取得最大值，即 ymax=2×1=2。当πx

6 -

π

3=-

π

3时，

函数 y=2sin









πx 

6 -

π

3 取得最小值，即 ymin=2sin











 -

π

3 =- 3，因此 y

=2sin









πx 

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2 3。

16.将函数 y=sinx 3cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度，

9

再向上平移 1 个单位长度后，所得图象经过点









π 

4，1 ，则 φ 的最小值

为________。

答案 7π

12

解析 依题意，将 y=2sin











x

π

3 的图象向右平移 φ 个单位长度得

到曲线 y=2sin











x-φ

π

3 ，再向上平移 1 个单位长度得到曲线 y=

2sin











x-φ

π

3 1，又该曲线经过点









π 

4，1 ，于是有 2sin









π 

4-φ

π

3 1

=1，即 sin









7π 

12-φ =0，φ-

7π

12=kπ，k∈Z，φ=kπ

7π

12，k∈Z，因此

正数 φ 的最小值是7π

12。

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