初中数学二次函数知识点汇总（中考数学常考易错点）

二次函数的图象与性质，下面我们就来聊聊关于初中数学二次函数知识点汇总?接下来我们就一起去了解一下吧!

初中数学二次函数知识点汇总

二次函数的图象与性质

易错清单

1. 二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.

【例1】　二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:

① 4a b=0;② 9a c>3b;③ 8a 7b 2c>0;④ 当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.

其中正确的结论有(　　).

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

【解析】　根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b c<0,即9a c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b c=0,易得c=-5a,所以8a 7b 2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a 7b 2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.

【答案】　∵　抛物线的对称轴为直线x=2,

∴　b=-4a,即4a b=0,所以①正确.

∵　当x=-3时,y<0,

∴　9a-3b c<0,即9a c<3b.所以②错误.

∵　抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),

∴　a-b c=0.

而b=-4a,∴　a 4a c=0,即c=-5a.

∴　8a 7b 2c=8a-28a-10a=-30a.

∵　抛物线开口向下,

∴　a<0.

∴　8a 7b 2c>0.所以③正确.

∵　对称轴为直线x=2,

∴　当-1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小.所以④错误.故选B.

【误区纠错】　本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2 bx c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

2. 二次函数和最值问题

【例2】　当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2 m2 1有最大值4,则实数m的值为(　　).

【解析】　二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.

【答案】　二次函数的对称轴为直线x=m,

①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,

此时-(-2-m)2 m2 1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在.

②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,

此时,m2 1=4,

【误区纠错】　本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.

考点点拨

1. 掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.

2. 能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.

3. 会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.

4. 能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.

提分策略

1. 二次函数的图象与性质的应用.

(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方法;②顶点公式法,顶点坐标为.

(2)画抛物线y=ax2 bx c的草图,要确定五个方面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴交点.

【例1】　(1)用配方法把二次函数y=x2-4x 3变成y=(x-h)2 k的形式;

(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x 3的图象;

(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x 3图象上的两点,且x1< x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果);

(4)把方程x2-4x 3=2的根在函数y=x2-4x 3的图象上表示出来.

【解析】　(1)根据配方法的步骤进行计算.

(2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错.

(3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小.

(4)抛物线y=x2-4x 3与直线y=2的交点的横坐标即为方程x2-4x 3=2的两根.

【答案】　(1)y=x2-4x 3=(x2-4x 4) 3-4=(x-2)2-1.

(2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),列表如下:

x

…

0

1

2

3

4

…

y

…

3

0

-1

0

3

…

　　描点作图如图.

(3)y1>y2.

(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x 3=2的根.

2. 二次函数的解析式的求法.

二次函数的关系式有三种:

(1)一般式y=ax2 bx c;

(2)顶点式y=a(x-m)2 n,其中(m,n)为顶点坐标;

(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.

【例2】　已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.

【解析】　根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.

3. 二次函数的图象特征与系数的关系的应用.

二次函数y=ax2 bx c=0(a≠0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2 bx c=0(a≠0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由的符号确定.

【例3】　已知二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2 bx c-m=0没有实数根,有下列结论:

①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.

其中,正确结论的个数是(　　).

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

【解析】　由图象可知二次函数y=ax2 bx c与x轴有两个交点,进而判断①;

先根据抛物线的开口向下可知a<0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②;

一元二次方程ax2 bx c-m=0没有实数根,则可转化为ax2 bx c=m,即可以理解为y=ax2 bx c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可.

【答案】　①∵　二次函数y=ax2 bx c与x轴有两个交点,

∴　b2-4ac>0,故①正确.

②∵　抛物线的开口向下,

∴　a<0.

∵　抛物线与y轴交于正半轴,

∴　c>0.

∵　对称轴,

∴　ab<0.

∵　a<0,

∴　b>0.

∴　abc<0,故②正确.

③∵　一元二次方程ax2 bx c-m=0没有实数根,

∴　y=ax2 bx c和y=m没有交点.

由图可得,m>2,故③正确.

故选D.

　　4. 二次函数的图象的平移规律的应用.

(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决.

(2)平移的变化规律可为:

①上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2 k向上平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2 k m;当抛物线y=a(x-h)2 k向下平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2 k-m.

②左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2 k向左平移n(n>0)个单位后

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