光的折射定律解释（光的折射定律的数学推导）

今天我们通过一道题目来感受一下大自然的神秘和智慧。

题目：一束光线从空气中的A点经过水面折射后到达水中的B点，如图1所示。已知光在空气中传播的速度是v₁，在水中传播速度v₂。光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播，请确定光的传播路径。

图1

图1中A到水面的垂直距离AO=h₁，B到水面的垂直距离BQ=h₂，OQ的长度为l，因为光在同一种介质中是沿着直线传播的，假设光线的传播路径与线段OQ的交点为P，那么光的传播路径为折线APB，设OP=x，那么PQ=l-x，，光线从A传到B所需要的时间为

式1

上式中x∈[0，l]。由数学知识可知，当T'(x)=0时T(x)取得最小值，对T(x)求导

式2

假设x=x₀时，T'(x)=0，则有

式3

令

式4

式5

把式4和式5带入到式3中，整理得

sin θ₁/v₁=sin θ₂/v₂ （式6）

这其实就是光学中著名的折射定律。θ₁和θ₂分别是入射角和折射角。

假设光在空气中折射率n₁，在水中的折射率n₂，由物理学的知识有v₁n₁=v₂n₂，结合式6有如下关系：

n₁sin θ₁=n₂sin θ₂

这个题目中预先告诉大家了光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播，然后我们推导出了折射定律。光学中有个概念叫做“光程”，它等于介质折射率乘以光在介质中传播的路程。对于多种介质的情况，总的光程就是各介质中光程之和了。耗时最少的路径其实就是总光程最小的路径。

这里插一句，“光线传播的路径是耗时最少的路径”这种说法可能是费马原理最早的描述，后来的科学家可能觉得这种表述不严谨或者说某些情况不适用而给出了更加严谨说法。因为已经触及小编的知识盲区，不去讨论。对于大多数人来说中学的时候已经学了光的折射定律，在这个题目里面光的实际路径的确是其耗时最少的路径。对于更加严谨的光学理论描述那是科学家研究的事情，我们只讨论题目中这种简单的情况。

一段路程如果需要人来走完，人们往往希望找到一条“捷径”，希望用时最短。而在题目中这种情况，光从空气中位置A传播到了水中位置B，却能默认地选择耗时最短的路径。不禁感叹光是多么的“聪明”。对我们来说，是不是感觉有种神秘的力量在控制着客观世界，使得大自然中的现象都是按规律进行的，而这种规律似乎又略带着些上帝“个人喜好”的成分。

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