82年高考数学题解答（1978年高考数学真题）

大家好！本文和大家分享一道1978年高考数学真题。这是1978年高考数学副题的第五大题(共七道大题)，考查的是多项式的因式分解、配方法、待定系数法等方法。题干中式子的形式看起来比较复杂，本题也难住了不少的学霸，下面老师详细和大家讲解本题的解法。

先看第一小问：证明函数的解析式是一个二次三项式的平方。

要证明结论，那么我们需要将函数的解析式进行配方，使其变成一个完全平方的形式。

由题意知，p^2-4q-4(m 1)=0，即m 1=(p^2-4q)/4，代入函数解析式，得到：f(x)=4x^4-4px^3 4qx^2 2px(p^2-4q)/4 [(p^2-4q)/4]^2。

接下来就需要将解析式配成一个二次三项式的平方，那么怎么配方呢？

既然能够配成一个二次三项式的完全平方形式，那么我们在处理时可以把这个二次三项式中的二次项和一次项作为一个整体看待，即(ax^2 bx c)^2=[(ax^2 bx) c]^2=(ax^2 bx)^2 2c(ax^2 bx) c^2。也就是说，我们要把f(x)配成一个二次三项式的平方，我们可以先配出二次项与一次项的和的平方，这样可得到(2x^2-px)^2的式子。我们接下来再看常数项，常数项已经是一个平方式，不需要再处理。接下来，我们就需要配出(2x^2-px)(p^2-4q)/4的形式，这样就能得到一个二次三项式的平方。

再看第二小问：证明p^2-4q-4(m 1)=0。

对于很多同学来说，第二小问的难度比第一小问更小，因为题干已经告诉了这个二次三项式，那么只需要将这个二次三项式的平方展开，然后再根据f(x)与F(x)是相同的多项式就可以得到一个方程组，通过这个方程组就可以证明出结论。

由于f(x)=F(x)，即4x^4-4px^3 4qx^2 2p(m 1)x (m 1)^2=(2x^2 ax b)^2，将右边的完全平方式展开，得到4x^4-4px^3 4qx^2 2p(m 1)x (m 1)^2=4x^4-4ax^3 (a^2 4b)x^2 2abx b^2。从而可以得到：-4p=4a，4q=a^2 4b，2p(m 1)=2ab，(m 1)^2=b^2。

由于我们要的是p、q、m之间的关系，所以只需要消去a和b即可。

相对而言，这道题的第一小问难度更大，主要是很多同学不会配方。不过，掌握方法后，这道题其实也没那么难。你觉得呢？