诡异的数学立体图形（不可能图形几何与视觉的魔术）

「纪念碑谷」系列被广大玩家奉为神作的重要原因，在于其极尽艺术美感的画面构图和极富空间想象力的精巧谜题。狭长环廊和高尖建筑在玩家指尖辗转挪移，为玩家呈现出一场几何艺术的视觉盛宴。无论是构图还是谜题，其背后都有着同一理论做支撑——不可能图形。

所见皆实，所见皆虚

不可能图形（Impossiblefigure），又称错觉图片、二维图形，是指只能在二维世界存在，而无法存在于三维的现实世界中的一种几何图形，常以视觉错位的形式“欺骗”观看者的眼睛，令其产生眼见不一定为实的想法。最早的不可能图形由瑞典艺术家奥斯卡·雷乌特斯瓦德设计，之后英国数学家罗杰·彭罗斯、荷兰艺术家莫里茨·埃舍尔等人将这一理念发扬光大。如今，不可能图形已成为视觉艺术的一大子类，在数学、医学等领域均有应用。

从左至右分别为雷乌特斯瓦德、彭罗斯、埃舍尔。图源网络，下同。

彭罗斯三角形

都是“Z轴”的错。

彭罗斯三角形（Penrose triangle），又称彭罗斯三杆，是不可能图形中最经典和广为人知的一种。

虽然以“彭罗斯”命名，但其实最先由“不可能图形之父”雷乌特斯瓦德于1934年设计的。随后，在不了解雷乌特斯瓦德的情况下，数学家彭罗斯在1956年看到埃舍尔的绘画作品后也得到这种图形的灵感，并与其父亲一同讨论出一篇论文，发表于1958年的《英国心理学》杂志，彭罗斯三角形也由此得名。

左为彭罗斯三角图案，右为纪念碑谷2第一章。

以上述截图为例可以比较简单方便地解释不可能图形形成的原理，即人类的视觉系统对二维几何图形的三维投射处理而形成的光学错觉。

简单的说，都是“Z轴”的错。

如果将其视作二维图形，不会有任何问题，但如若将其视作有三维坐标系的立体图形，就会出现差错。如图中不同辅助线所示，在第一张图中，①点和②点处于同一平面，即Z轴坐标相同，但在第二张图中，又可以明显看到①点的Z坐标比②点高。

我们都知道，在不涉及微观物理的现实世界，同一物体在同一坐标系下不可能有两个坐标的常识，即这个物品不可能既在这儿，又在那儿，由此，上述互相矛盾的视觉感知形成冲突。

对玩家而言，由于其潜意识作用，以及开发者故意对上述图形的不同面进行不同的上色，以形成景深效果对玩家造成暗示和误导，导致大部分玩家的视觉系统感知到上述二维图形时都会将其处理为三维，最终形成视觉错位效果。

现实当中只有这样的伪彭罗斯三角。

彭罗斯阶梯

永无尽头的台阶

彭罗斯阶梯（Penrose stairs），依旧由彭罗斯及其父亲创作，于1958年公布于世。这是一个彭罗斯三角的变形，是以二维几何图形的形式表现的拥有4个90°拐角的四边形阶梯，理论上人们在其中只能始终向上/下永远走不到头。电影「盗梦空间」中的经典情节便是引用了这一创意。

彭罗斯阶梯的特征是：四条台阶，四角相连，形成一个闭合的四角形，但每一条边都是向上/下的，因此能够无限伸展。显然，这种阶梯在三维现实世界是无法实现的，只能像上述gif图一样在某个角度利用错位原理进行视觉“欺骗”（不过，在更高维的世界是可能存在的）。

左为彭罗斯阶梯图案，右为盗梦空间拍摄实景。

不可能正方体

远与近的错乱

不可能立方体（Impossible Cube），则是埃舍尔在彭罗斯三角的启发下（这两人互相激发灵感，厉害了……），于1958年在其作品《Belvedere》中创作的不可能图形。

这个不可能图形的矛盾点在于其中本应靠近观察者的一条棱却奇怪地被另一条本应远离观察者的棱挡住了，由此形成“远的比近的还近，近的比远的还远”的错觉，从上述三维坐标系的角度来看，矛盾点便在于观察者错误地将二维图形处理成立方体后，导致两条棱所处的各坐标轴坐标都发生了混乱。

左为《Belvedere》中的不可能正方体，右为其细节图案。

不可能图形与艺术作品

埃舍尔作为一名画家，将不可能图形的理念运用到绘画作品中，创作出许多大师级作品，其中最著名的有其1961年创作的《Waterfall》。

该作品属于彭罗斯三角的变体，将三角形的任意一个角“内折”之后，便能够形成图中所示“W”形的狭长小道。将纪念碑谷的截图与之对比，就能明显看出碑谷在建筑风格上对埃舍尔作品的借鉴、在设计原理上对不可能图形的参考以及对埃舍尔本人的致敬。

左为《Waterfall》，右为纪念碑谷2第五章截图。

除此之外，埃舍尔还有大量其他运用了不可能图形原理的绘画作品，空间的错位使得这些画作显得夸张、魔幻，令人感觉似真似假、亦虚亦实，散发着别具一格的错觉美感。同样，这也是《纪念碑谷》的一大重要魅力来源。

通过努力实现不可能的美好，也许这也是《纪念碑谷》开发者想要向玩家传达的信念吧。

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