切割线定理怎么使用（切割线定理变形及其应用之五）

本文继续讲解切割线定理及母子型相似的应用

例16、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．（2006年初中数学联赛）

思路分析：分析法，

欲证PE·AC=CE·KB，即证PE/KB=CE/AC,

由平行得PE/KP=CE/AC,

从而只需证明KP=KB,而由切割线定理知这是显然的，从而得证。

证明：由切线及平行得

∠PAK=∠ACP=∠KPE,

从而△PEK∼△APK,

则PK^2=KE*KA,

又由切割线定理得

BK^2=KE*KA,从而PK=BK,

由平行得到

即得PE·AC=CE·KB 。

注：本题很简单，此构型前面也多次见到和用到，希望初学者熟练掌握。

例17、已知，如图，EF、CD为两圆外公切线，EF交CD于O，两圆交于A、B。

求证：OA为△ACD外接圆切线；

思路分析：欲证OA为△ACD外接圆切线，

即证∠OAC=∠ODA。

条件中O为两外公切线的交点不太好用，

想到O为两圆外位似中心，

从而延长OA交大圆于I，则

AI为相似对应点，

从而∠OAC=∠OID=∠ODA。

证明：延长OA交大圆于I，

显然O为两圆外位似中心，

C、D，A、I为对应点，则

∠CAO=∠DIO=∠ODA,

即得OA为△ACD外接圆切线;

注：本题也比较简单，但是很经典也和重要，从位似角度看是显然的。当然本题也可以不用位似直接证明。

例18 、已知：如上图，圆O、O’交于P、Q，PA、PB为圆O、O’切线，A、B分别在圆O、O’上，PQ交△ABC外接圆于R。

求证：PQ=QR（2016年高中数学联赛陕西省预赛试题）

思路分析：作出△PAB圆心T合情合理，

相交两圆必连公共弦和连心线，

欲证PQ=QR，即证TQ⊥PQ，

即证TQ//OO'。

由切线可得OPO'T为平行四边形，

则OO'为中位线，从而得证。

证明：设△PAB外接圆圆心为T，

则TO⊥PA。

又由切线得O'P⊥PA,

则OT//O'P.

同理O'T//OP,

故OPO'T为平行四边形，

则N为PT中点，

又M为PQ中点，

则MN//TQ,

故TQ⊥PQ，

则PQ=QR。

注：本题也不难，证明方法也很多，不过上述证法基本上是最简洁的了。

例19、如图，若AP、AQ为圆O的切线，，过A的圆的割线ACD交PQ于B点。

求证：BD/BC=AD/AC;

证明：如上图，由切割线定理则

AP/AD=PC/DP, AC/AQ=QC/QD,从而得到

即结果成立。

注：前面我们多次提到，一般的，称满足上述表达式的A,B;C,D为调和点列，其表达式有很多变式。称PDQC为调和四边形，读者可以参阅[5]。当然本题证明方法很多，上述方法是用计算得到的，也可以作出CD中点，由相似得到，感兴趣的读者可以自行探讨。当然如果从极点极线的角度看，本问题相当于证明过点A的圆O的动弦上满足A,B;C,D为调和点列的点B的轨迹在A的极线上，这是极线的一种定义。当然本结论对所有的圆锥曲线均成立。

例20 、如上图，过圆O外一点P做割线PAB、PCD，AD与BC、AC与BD分别交于E、F，P对圆O的切线为PS、PT，其中S、T为切点。

求证：E，F，S，T共线（2002年CMO试题等价表述）

思路分析：由对称性，只需证明E在ST上即可。相当于证明AD,BC,ST三线共点，自然的思路是消点法，在△ABT中，由角元塞瓦定理，只需证明六个角的正弦值之间的等式。由正弦定理转化为证明六个线段相间线段乘积相等，这个不难类似上题证明。

注：1）本结论也是极线的另一种定义，即过P的两条割线PAB、PCD，ABCD对角线交点的连线即为P对圆O的极线。当然对于所有的圆锥曲线都成立。需要特别说明的是，如果此结论不用几何方法，要用解析法直接计算，则计算量蔚为大观，几乎很难完成。不相信的读者可以挑战一下 ^_^。

2）上述证明用塞瓦定理计算证明，与上题证明如出一辙。当然上述证明中得到的结论：圆内接六边形对角线交于一点的充要条件为相间线段乘积相等。是塞瓦定理的一个推论，是证明圆内接六边形对角线交于一点的重要方法。

3)我们在文[1]中提到过不用直尺、只用圆规作图问题。类似的还有一个问题是只用直尺、不用圆规作图问题，一个最经典的问题是已知线段AB//CD，作AB中点。其实就是利用文[1]中的Steiner定理，直接连线即可，如下图。

另一个比较困难的直尺作图问题是：只用直尺过圆外一点P作圆的切线（不给出圆心，其实即使给出圆心也没有用）

做法其实就是本题证明的结论，过P任意作割线PAB、PCD，AD交CB、AC交BD于E、F，

EF交圆于S、T，则PS、PT即为圆的切线，证明如上。而且此方法可以适用于所有的二次曲线。对作图感兴趣的读者可以参考文献[10]。

前面通过5篇文章、20个例题，展示了切割线定理及其推论在许多几何问题中的应用，我们发现这个结论和构型虽然很简单，但是至关重要，是解决很多难题的突破口和关键点；这也告诉了我们一个朴素的道理：最简单的往往是最重要的，关键是要合理及巧妙的使用它！希望读者在以后的学习生活中慢慢体会其中的真意！另一方面对经典的简单结论要多积累，这样才能在合适的时候用上。正如《老子》中所说的：九尺之台，起于累土；合抱之木，生于毫末；千里之行，始于足下。

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