中考数学抛物线相似圆综合题（顶点求法有几种）

求二次函数顶点坐标在历年中考真题中”频频露脸”,顶点求法成为大家关注的话题.

大家熟悉的有配方法、公式法,不常见却很实用，并被分别称之为”以横求纵法”、”辗转求值法”和“求横配纵法”,现拟分别以中考真题为例，解析如下:

一、配方法

把二次函数解析式，通过配方转化为y=a（x-h）² k，从而知其顶点坐标为（h，k）.

例1.（辽宁大连）已知抛物线y=ax²﹣2amx am² 2m﹣5（其中﹣1/4＜a＜0），抛物线的顶点坐标为______（用含m的代数式表示）.

解析:因为y=ax²﹣2amx am² 2m﹣5=a（x﹣m）² 2m﹣5，

所以抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．

故答案为（m，2m﹣5）．

二、公式法

例2.（天津市）已知抛物线y=x² bx-3（b是常数）经过点A（-1,0）.

该抛物线的顶点坐标为______.

解析：把A（-1,0）代入y=x² bx-3解得b=-2，

所以该抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

因为x=-b/2a=-（-2）/[2×1]=1,

y=（4ac-b²）/4a=[4×1×（-3）-（-2）²]/[4×1]=-4；

所以答案为（1，-4）.

三、以横求纵

例3.（深圳改编）已知抛物线y=ax² bx 2经过A（-1,0），B（4,0），该抛物线的的顶点坐标是______.

解析：由题意，得方程①a-b 2=0和方程②16a 4b 2=0,

解方程①和方程②组成的方程组，

得a=-1/2,b=3/2,

所以该抛物线的解析式为y=-(1/2）x² （3/2）x 2.

因为抛物线y=ax² bx 2经过A（-1,0），B（4,0），

所以该抛物线的对称轴为直线x=3/2,

所以该抛物线的顶点横坐标为3/2.

将x=3/2,代入已知抛物线解析式得y=-(1/2)x² (3/2)x 2，从而得y=25/8.

写出答案（3/2,25/8）.

对配方法不熟练的，可采用此种方法.

四、辗转求值法

因为二次函数的一般形式y=ax² bx c可化为y=（ax b）x c①，其顶点的横坐标为

x=-b/2a②，把②代入①化简得，y=[a(-b/2a) b]x c=bx/2 c.

于是，当已知横坐标x的值或对称轴x=-b/2a的值，或这两个值易求时，若求顶点坐标时，将横坐标x的值代入y=bx/2 c，求纵坐标y的值很简便.

例4.(湖北宜昌）已知抛物线y=x² （2m 1）x m（m﹣3）（m为常数）,其顶点坐标用含m的代数式可表示为______.

解析：因为

五、求横配纵法

已知纵坐标，不求解析式而用简便的方法求得横坐标，然后与已知的纵坐标组成顶点坐标.

例5. （呼和浩特）已知二次函数y=ax²﹣2ax c（a＜0）的最大值为4，其图象的顶点为D．

该二次函数图象的顶点D的坐标为______.

解析：由顶点坐标公式知，x=-b/2a=-(-2a/2a)=1,从而与该函数的最大值4，组成顶点D的坐标，故答案为：（1，4）.