无穷小量的数学分析，是奔驰在数学荒原上的野马

在遥远的古代，人类还在原始大森林中刀耕火种的时候，就已经开始仰望浩翰的星空，陷入了深深的思考:宇宙到底有多大，宇宙的边缘到底在哪里？宇宙的尽头到底是什么？这时在人们脑海中不断地闪现出两个字：“无穷”。人类的先行者们对“无穷”问题的思考，就如川流不息的河水在漫长的岁月里静静地流淌着，经历了数万年的思考，终于来到了17世纪。

在这个伟大的时代里，牛顿和莱布尼茨分别独立地发明了“微积分”，但是“微积分”中的“无穷小量”却引发了“第二次数学危机”，“无穷小量”犹如一匹奔驰在数学荒原上的野马，没有人能够让它乖乖听话。然而，有那么一位伟大的数学家，最终用“极限”的定义驯服了“无穷小量”，他就是柯西。

柯西于1789年出生于巴黎，身为律师的父亲与当时的大数学家拉格朗日和拉普拉斯私交甚笃。少年时代的柯西就展露出了出色的数学才华，深受这两位数学家的赞赏，认为他将来在数学上必定可以获得极高的成就。

但是，每一位天才都是孤独的，柯西也是一样。学生时代的柯西不爱说话，因而他的身边没有朋友。在那个以“读哲学书”为荣的时代，柯西课余常看的书却是拉格朗日的数学书，人们都嘲笑他为“苦瓜”和神经病。

1807年至1810年，柯西放弃了交通道路工程师的身份，全身心地投入到了纯数学的研究工作之中。几年之后，柯西回到了巴黎，开努担任母校的数学教授，柯西在日记中写道：“我像是找到自己河道的鲑鱼一般地兴奋。”正是这个优越的“数学教授”职位，让柯西的数学研究工作如鱼得水，也为柯西的数学事业迎来了崭新的春天。

十七世纪，那是一个特殊的时代，牛顿和莱布尼茨以“无穷小量”的概念为基础建立起了“微积分”，沉淀了数千年的人类文明，正在蓄势待发，即将在人类文明的天空绽放出绚丽的光彩。

但是，由于人们满足于“微积分”所带来的成果而急于高歌猛进地开拓新的领域，却忽略了“微积分”底层的逻辑建设，引发了人们对“微积分”的置疑：“无穷小量”是否等于“零”？如果说是“零”，怎么能用它去作除数？如果它不是“零”，那么在“函数变形”时，又为何将那些“微小的量”的项去掉呢？

“微积分”底层混乱的逻辑引起了以英国哲学家、大主教贝克莱为首的各界权威对“微积分”发起了激烈的攻击，“第二次数学危机”爆发了。

在十七世纪“微积分”诞生之初，到之后的一百多年里，“无穷小量”这匹自由的野马，在数学的荒原上无羁地奔跑着，充满着巨大的能量和无穷的活力，但人们却又无力去把握它。

要解决“无穷小量”的问题，还得从“无穷”的概念说起。人们对“无穷”概念的深入思考，最早可以追溯到古希腊，在那个遥远而荒芜的时代，芝诺提出了著名的“芝诺悖论”，比如四大悖论之一的“飞矢不动”悖论。

“飞矢不动”悖论是这样的：一支在空中飞行的箭，在任一“无穷小”的“时间”点上，它一定处于“空间”中的一个特定的“无穷小”的点上。而在每一个特定的“无穷小”的“时间点”上，箭只能是“静止”的，由于箭的飞行轨迹由“无穷”个这样的“点”组成，所以飞行的箭总是静止的，因而箭的运动是不可能的。

芝诺提出的“飞矢不动”悖论，也是人类最早将“无穷”问题尖锐地摆到桌面上来进行讨论。

“飞矢不动悖论”实际上一个关于“无穷集合”的问题。早期的“无穷集合”被分为两种：一种是“无穷过程”，人们称之为“潜在无穷”，另一种是“无穷整体”，人们称之为“实在无穷”。当时的大数学家亚里士多德认为这个世界只存在“潜在无穷”，而“实在无穷”是不存在的，比如宇宙，在人类看来，是“无穷的”，但是如果站在上帝的角度，宇宙却是“有限”的，因而这个世界“真正的无穷（实在无穷）”是不存在的，因而“无穷集合”也是不存在的。由于亚里士多德的权威地位，人们对“无穷集合”的研究停滞了两千多年之久。

而在这漫长的时间里，“无穷”只是做为一种“观念”存在，没有人将它作为一个“数”，更没有人将它参与“数学运算”。

但是，当牛顿和莱布尼茨创立“微积分”之后，却冒天下之大不韪，将“无穷小量”当成最为基本的“量”来进行演算，建立起一门新的学科——“无穷小演算”。将“无穷”个“无穷小量”加在一起，就是“积分法”，当“两个”“无穷小量”相除，就是“微分法”。

此时，一直被传统思想所忌惮的“无穷小量”，大模大样的闯进了数学领域。这令数学界的权威们充满疑虑，就连号称“数学家之王”的高斯也不例外。

高斯是一个“潜在无穷论者”，不承认“无穷集合”，他曾在给朋友的信中强烈地反对人们将“无穷”的概念和“无穷”的“记号”当成“普通数”一样来参与“数学运算”。

早期的柯西也和大多数大数学家一样，也不承认“无穷集合”的存在，但随着有关“无穷集合”数学成果的不断涌现，他最终还是接受了“实无穷”，从而接受了“无穷小量”，他说：“纯数学的领域里，似乎没有实际的物理现象来印证，也没有自然界的事物可说明，但那是数学家遥遥望见的应许之地。理论数学家不是一个发现者，而是这个应许之地的报导者。”

柯西开始尝试着用“严格”的“无穷”概念来重新定义“微积分”，与当时全世界的数学家们一道，展开了对“数学分析”进行“严格化”的工作。柯西把“无穷小量”视为“以0为极限的变量”，充分地解释了“无穷小量”为什么有时可以不把它当为“零”，有时候又可以当成“零”。那是因为，“无穷小量”是一个“变量”，它在变化的过程中，它的值虽然不直接等于零，但它变化的趋向却在无限地接近于零，所以人们有时把“无穷小量”直接“等于0”来处理，也不会产生错误的结果。

1821年，柯西提出了定义“极限”的方法，将“极限过程”用“不等式”来描述，柯西为此首先成功地建立了“极限论”，也是在这一刻起，“无穷小量”被彻底的驯服了。

在“极限”的概念下，“曲线”与“直线”可以相互转化，也就是说，“直线”和“曲线”在“微分”中被等同起来。人们借助于“极限”的思想方法，解决了大量用“初等数学”无法解决的问题。“数学分析”中的一系列重要概念，如“函数”的“连续性”、“导数”以及“定积分”等等都是借助于“极限”来定义的。如果要问：“数学分析”是一门什么学科?那么可以概括地说：“数学分析”就是用“极限”思想来研究“函数”的一门学科。

在今天，所有的“微积分”教材里的关于“极限”、“连续”、“导数”、“收敛”等概念的定义，都是柯西等人等人定义的。他利用“中值定理”首先严格证明了“微积分基本定理”。通过柯西等人的艰苦工作，“数学分析”的基本概念得到了“严格化”。使得“微积分”不再依赖于“几何概念”、“运动”和“直观了解”而发展成“现代数学”中最为基础和庞大的数学学科。

柯西一生的数学成就是无比辉煌的，他所著的“柯西全集”共有27卷，其论著有800多篇，在数学史上，他的“学术成果数量”仅次于欧拉。他的名字与许多“定理”、“准则”一起铭记在今天的许多教材之中。但他一生中最为引人瞩目的数学成果，无疑就是用“极限”的概念定义了“无穷小量”，使得“微积分”彻底摆脱了底层逻辑混乱的困扰，带领“近代数学”成功地走出了“第二次数学危机”，使近代数学走上了健康发展的康庄大道。

1857年5月23日，伟大的数学家柯西突然去世，享年68岁，临终前，他说的最后一句话是：

“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。”